La force vive d'un liquide indéfini a pour expression

M désignant le déterminant

(Poincaré, Théorie des tourbillons, p. i3o.)

8. Pour que les lignes de tourbillon soient orthogonales aux lignes de courant, il faut et il suffit que l'on ait

dv àv à®

U = il — - > V=u.— '-, W= il— -,

1 dx ày oz

u. et 9 étant des fonctions de x, y, z, t.

[Beltrami, Considerazioni idrodinamiche {Rendiconti del R. Istituto Lombardo, 2e série, vol. XXII, fasc. II).]

Ce théorème est une conséquence immédiate du n° 542, p. i5.

9. Étudier les mouvements dans lesquels les lignes de courant se confondent avec les lignes de tourbillon

(Beltrami, loc. cit. dans l'exercice précédent.)

10. Conservation des lignes et des surfaces de tourbillon déduite des équations de Clebsch (n° 779). ( Voir Clebsch, Journal de Crelle, i858.)

Réponse. — L'identité du n° 731

u dx -h v dy + w dz — ( u„da + v0db -f- w0dc ) = dF

montre que, si l'on fait

uada + v0db + w0dc = dz>0 + m0dty0, on a aussi

u dx -\- v dy -\- w dz = d ( F -+- <?„ ) + m0 dty9 ;

on en conclut que les surfaces

m0= const., 4*o= const.,

qui sont des surfaces de tourbillon à l'instant initial, restent des surfaces de tourbillon.