CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS

Çin et £i'n désignant les projections des vecteurs Q, et Q,' sur la normale à l'élément de de la surface S.

Si la surface fluide S est infiniment petite et se réduit à un seul élément g?<t,

(l) ~(Çi)ld<7) = Çl'ade.

2. Soit d<s un élément superficiel fluide en mouvement ; s 'il existe une fonction des accélérations, Qnd<7 est une constante indépendante du temps.

Réponse. — Cela résulte de l'équation précédente dans laquelle £l'n est nul. On a alors

(2) and<i = (an)0d<s0.

3. Théorème de Lagrange. — Déduire le théorème de Lagrange du n° 730 de la relation précédente (a).

Réponse. — S'il existe une fonction ou un potentiel des vitesses initiales, £l0 est nul, donc (Çin)0; la relation (2) montre alors que £ln= 0. Mais comme la direction de l'élément di est arbitraire, Q, — 0.

4. Théorème de Helmholtz. — S'il existe une fonction des accélérations, tout élément superficiel fluide qui contient à un moment donné le tourbillon Q, le contient toujours.

(C'est là, sous une autre forme, le théorème du n° 758.)

Réponse. — D'après (2), si (&„)„ est nu^ il en est de même de £ln.

5. Pour que les lignes de tourbillon soient des lignes fluides dans un mouvement, il faut et il suffit que l'accélération rotatoire Q,' (si elle n'est pas nulle) soit confondue en direction avec la rotation moyenne Q..

Soient une molécule fluide P, de un élément plan fluide pris dans cette molécule et passant par le tourbillon en P. Il faut que cet élément plan continue à contenir le tourbillon quand avarie. Donc Q,.t doit rester nul quand t varie; alors l'équation (1) montre que Q,'fl est nul. Donc, un élément plan en P contenant Cl contient Q,' ; ces deux vecteurs ont même direction.

Pour que l'intensité rotatoire £lda d'un élément superficiel fluide normal à Cl ne change pas avec le temps, il faut et il suffit que les vecteurs £l et Cl soient rectangulaires.

Pour que les deux propriétés précédentes aient lieu en même temps, il faut et il suffit que Q,' soit nul, c'est-à-dire qu'il y ait une fonction des accélérations-

[Maurice Lévy, Revue générale des Sciences, t. I, p. 724; 1890; voir aussi Zorawski, Ueber die Erhaltung der Wirbelbewegung {Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie, octobre 1900).]

6. Anneaux de tourbillon dans un liquide indéfini. — Soient u, v, w et £, r\, Ç

la vitesse et le tourbillon d'un élément di de coordonnées x, y, z, et X, Y, Z les

expressions

X = pÇ — wt\, Y = w% — uÇ, Z = ut) — v'V,

démontrer que le système de vecteurs X dx, Y dt, Z dx est équivalent à zéro,

c'est-à-dire que l'on a les six relations

fjfzdT^o, ..., ÇÇ J(yZ-zY)dx=:o,

On peut démontrer ces relations directement ou en se servant de l'analogie hydrodynamique. Elles expriment que les forces représentant les actions mutuelles des éléments de courants fictifs, par lesquels nous avons remplacé les tubes de tourbillon, sont égales et opposées deux à deux.

(Poincaré, Théorie des tourbillons, p. 12G et suiv.)