T 2TC

par contre, la valeur d'un maximum ou d'un minimum déterminé

, ' /ttV S — a

±•2 a COS ( —y t -+- !

varie avec t et oscille entre — 2 a et -+- 2 a. La crête d'une vague ne fait donc que monter et descendre sur la même verticale d'un mouvement oscillatoire : quand son ordonnée est nulle, la surface libre redevient momentanément plane : après cet instant, la vague fait place à un creux qui va en s'accusant jusqu'au moment où le fond du creux a atteint l'ordonnée — ia\ puis le fond du creux remonte, etc. Des ondes de cette nature s'appellent ondes stationnaires. Elles donnent naissance au phénomène du clapotis (voir n° 788).

786. Dynamique du mouvement irrotationnel par ondes parallèles à la surface d'un liquide pesant. — Soit un liquide pesant en équilibre dans un canal indéfini, de profondeur constante, limité latéralement par deux parois planes verticales et parallèles entre elles. Prenons le plan xOy parallèle aux parois, l'axe Ox étant horizontal et situé sur la surface libre, l'axe Oy étant vertical ascendant. Ecartons le liquide très peu de sa position d'équilibre de telle façon que chaque élément se déplace parallèlement au plan des xy et que tous les éléments situés sur une même perpendicu-

laire à ce plan subissent le même déplacement initial; imprimons, en outre, à chaque élément une vitesse initiale très petite parallèle au plan des xy, de telle façon que tous les éléments situés sur une même perpendiculaire à ce plan aient une même vitesse. Le liquide prendra alors un mouvement ondulatoire parallèle au plan des xy.

Nous supposons ici que ce mouvement est irrotationnel : pour cela, il faut et il suffît, d'après le théorème de Lagrange (n° 730) que les vitesses initiales (w0, ^07 Wo) dérivent d'un potentiel cp0; dans les hypothèses actuelles w0 est nul, et le potentiel cp0 dépend uniquement des coordonnées initiales x et y et non de z. On pourrait, par exemple, réaliser ces conditions en immergeant légèrement dans le liquide des cylindres solides perpendiculaires au plan des xy, laissant le liquide revenir au repos, puis retirant brusquement, au même instant, tous les cylindres; dans cette hypothèse, les vitesses initiales seraient nulles, et la fonction cp0 serait nulle.

A un instant quelconque £, les vitesses u, v d'un élément fluide de coordonnées x, y dériveront d'un potentiel cp(^,j^, t). Ce potentiel devra remplir les conditions suivantes :

i° Condition indéfinie. — Le potentiel cp doit vérifier, à chaque instant t, dans toute la masse liquide, l'équation de Laplace

d2cp

^2cp

ày1

2° Conditions aux limites. — Le liquide est borné par les parois latérales du canal, par le fond, situé à la profondeur y = — h, et par la surface libre. Tout d'abord, le long des parois latérales, les vitesses doivent être tangentes à ces parois, ce qui a lieu puisque le mouvement se fait parallèlement au plan xOy. Puis, sur le fond, la vitesse doit être tangente au fond ; la composante v doit donc être nulle, et l'on doit avoir

ày

poui

Enfin la surface libre doit être, à chaque instant, une surface d'égale pression, car sur cette surface s'exerce la pression atmosphérique pa. On a (n° 783), pour déterminer la pression p^ la

formule (5) où la fonction des forces U est — gy : Pi l [Y^PV /^PVI ^

(l6> T=-*l[£)+W) \-tt-sr-

Désignons, pour simplifier, par/? l'excès de la pression réelle/?! en un point sur la pression atmosphérique pa '

P =P\ — Pa\

on aura, en remplaçant la fonction <p parla nouvelle fonction

qui peut également servir de fonction des vitesses,

La surface libre a alors pour équation

(18) ' p =p1 — pa= o.

Gomme cette surface est une surface limite mobile, les vitesses doivent y vérifier la condition du n° 727, où l'on remplace u1 p,

do ôo w par — L> —' ° :

1 âx oy

ox ox oy oy ot

3° Conditions initiales. — A l'instant t= o, la surface libre a une forme arbitrairement donnée, et le potentiel cp des vitesses se réduit à une fonction donnée y0(x,y).

Tel est l'énoncé général du problème. On ne peut le résoudre qu'approximativement, en supposant les vitesses assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leurs produits.

C'est cette solution approchée que nous allons exposer. Nous nous contenterons d'abord de trouver une fonction simple 'f(#, y, t) vérifiant les conditions indéfinies et les conditions aux limites : une telle fonction donnera une solution du problème, si l'on imagine que les conditions initiales sont précisément celles que l'on obtient en faisant dans cette fonction t = o. La solution générale sera composée de la somme d'une infinité de solutions simples.

787. Équations approchées. — Supposons les vitesses assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leurs produits,

c'est-à-dire les carrés et les produits de — - et ~ et des dérivées de

1 dx dy

ces quantités par rapport à t. L'expression (17) de l'excès de la pression sur la pression atmosphérique devient

y ' p dt oJ'

et la condition (19) à la surface libre devient, en remplaçant p par cette valeur,

d*-® do / d^o \ àcp d*v

! — L. | ( L j cr 1 L J L. =zz: O

dt dx âx \dt dy j dy dt'1

ou, en négligeant le premier et le deuxième terme,

ào à2®

(21) sr -r1- H — —- = o.

v J 6 dy dt*

Solution simple donnant une onde progressive simple. — En cherchant à satisfaire à l'équation de Laplace (i4) par le produit d'une fonction de y par une fonction de je, on voit qu'on peut satisfaire à la condition indéfinie et aux conditions aux limites par une fonction cp de la forme

(22) cp (x, y, t) = A (e'»(r+/*)-h e-»l{y+h')sln(/nx — st -+- a),

A, a, ni, s étant des constantes parmi lesquelles les trois premières sont arbitraires. On devra supposer la constante A très petite, de Tordre de u et v, puisque u et v sont égaux repective-

, dtp d® ment a — L et —-• dx dy

Tout d'abord l'équation de Laplace (i4) est satisfaite, quelles

que soient les constantes; ensuite la condition au fond (i5), que

v1- s annule pour y = — /i, est également satisfaite .

Restent les conditions à la surface libre : l'équation de cette surface p = o est, d'après (20),

do

gy+$ = 0,

c'est-à-dire

y — — (em{y+h) + e-m{y+h)} cos(mx — si î -f- a).

L'ordonnée y d'un point de cette surface est très petite : elle est, d'après l'équation ci-dessus, de l'ordre de grandeur de A; dès lors, en développant emr el e~my en séries et négligeant les termes en Ay, Ay'2, . . ., on voit qu'on peut remplacer ces exponentielles par i et écrire pour l'équation de la surface libre

As

(23) y— — (emh-+- e-mh) cos(mx — st-\-x).

Le mouvement est donc bien un mouvement ondulatoire simple : les constantes m et s sont liées par une relation que nous allons obtenir en exprimant la dernière condition (21) relative à la surface libre

sr — — I — r = o.

ô dy dt*

D'après la valeur (22) de <p, cette condition devient, après suppression du facteur s\n(mx — st -f- a),

gm(em{y+h) — e-,n{y+ll)) — si(em{y-hh) -f- e-»(r+A)) = o,

sur la surface libre. Gomme, sur cette surface, y est très petit, nous pourrons remplacer approximativement y par o et nous aurons, pour déterminer s en fonction de m, l'équation

(24) s2= gm — -. r.

Avec cette valeur de la constante s, la fonction o donnée par (22) remplit toutes les conditions aux limites. Elle donne donc une solution du problème, avec des conditions initiales obtenues en faisant dans les équations précédentes t = o.

La relation (24) donne la vitesse de propagation de l'onde progressive simple V en fonction de la longueur d'onde / : en effet, d'après les équations (10) et (1 1), on a