TT

T=\Av

Si, au contraire, l'onde est très longue par rapport à la pro-

fondeur, j est petit et l'on peut remplacer approximativement le

numérateur e l

parle premier terme de son développe-

ment en série — j— et le dénominateur par 2 ; on a alors

Remarque sur V équation de la surface libre. — On pourrait obtenir également l'équation approchée de la surface libre par la méthode suivante. Soit

l'équation de cette surface. Comme elle est une surface limite, on doit avoir sur cette surface (n° 727)

p = /iH -+-/«;

mais f'x étant le coefficient angulaire delà tangente à la courbe (26) est très petit, car la surface libre diffère peu d'un plan horizontal; on a donc, en négligeant le produit uf'x et remarquant

/./ dr

cIue/< =Tt'

D'après la valeur (22) du potentiel des vitesses, on a ainsi

~ = km(em{y+h] — e-»l{y+h)) s\n(mx — st -±- -x)

sur la surface libre, c'est-à-dire pour y très petit. D'où approximativement, en faisant y = o,

~ = ^m(emh — e~m/l ) s'm (m.z — st-ha), dt

et en intégrant on a, pour équation de cette surface,

(28) y = (em/l — e-/nh)cos(mx — st -t- a).

Si l'on compare cette équation à celle que nous avons trouvée par une méthode directe (éq. 23), on voit que ces deux équations sont identiques en vertu de la relation (24) qui lie s, m et h.

Oscillations des molécules. — Soient a et b les coordonnées d'une molécule dans l'état d'équilibre, x et y ses coordonnées à l'instant t et #4, y{ les projections de son déplacement; on a :

x = a -h xu y = b-+-yu

dxx dy dyx d<f

dt dx dt dy