II. — MOUVEMENTS TOURBILLONNAIRES D'UN LIQUIDE

791. Propriétés et équations générales. — Soit un liquide qui se meut parallèlement au plan fixe xOy.

Comme nous l'avons dit au commencement de ce Chapitre, le liquide peut être limité par des parois fixes ayant la forme d'un cylindre droit perpendiculaire au plan des xy, le cylindre étant fermé par deux bases planes parallèles à ce plan. Le liquide peut, en outre, présenter des surfaces libres qui seront aussi des surfaces cylindriques perpendiculaires au plan des xy. Le mouvement, étant le même dans chaque section droite du cylindre liquide, est évidemment indépendant de la hauteur de ce cylindre. Nous supposerons alors cette hauteur infinie dans les deux sens, au-dessus et au-dessous du plan des xy.

Si, dans un élément dm du liquide situé dans le plan xOy au point x, y, le tourbillon 0 n'est pas nul, il est perpendiculaire au plan xOy (n° 780) et sa projection Ç sur un axe Oz normal au plan du mouvement est

{1) ;~ 2 \dx dyj'

cette projection est positive ou négative suivant le sens dans lequel

se fait la rotation de l'élément considéré. Les lignes de tourbillon sont actuellement des droites indéfinies perpendiculaires au plan âesxy, et les tubes de tourbillon des cylindres perpendiculaires à ce plan.

Soient un tube de tourbillon infiniment délié, ch la section droite de ce tube, c'est-à-dire sa trace sur le plan des xy. Le moment ou l'intensité d'un tube de tourbillon est, en général,

I = Q.Q da;

actuellement, le tourbillon se réduit à sa composante parallèle à O^, il = zfc Ç ; nous prendrons pour intensité du tube

(i) I = 2Ç dz,

en convenant de donner un signe à V intensité , suivant que le tube tourbillonne dans un sens ou dans l'autre.

Quand t varie, ce tube se déplace, mais d<j et Ç restent constants. En effet, considérons le plan des xy et un plan parallèle situé à la distance h du plan des xy : ces deux plans découpent, dans le tube de tourbillon, un élément liquide de volume h du. Gomme un tube de tourbillon reste toujours composé des mêmes éléments fluides et que le fluide est supposé être un liquide incompressible, le volume h d i est constant; donc d? est constant. D'autre part, l'intensité (2) d'un tube de tourbillon est constante dans le temps; donc le produit Ç do- est constant, et comme do- est constant, Ç l'est aussi.

Un tube de tourbillon de section droite finie étant la réunion de tubes infiniment déliés, la section droite de ce tube a une aire constante, et, en chaque élément de cette aire fluide, Ç est constant.

Il faut alors, à un instant £, se représenter la masse liquide du plan des xy comme décomposée en deux sortes d'aires : les unes, S|, S2, • • ., Su, formant les sections droites des tubes de tourbillon, les autres comprenant les éléments animés d'un mouvement irrotationnel; les aires liquides S,, S2, ..., Sn se déplacent en conservant une grandeur constante et, en chacun des éléments matériels qui les constituent, Ç a une valeur, constante dans le temps, pouvant varier d'un élément à l'autre; l'ensemble des aires III. 3i

restantes est également constante, si elle est finie, et en tons les points de ces aires restantes Ç est nul.

Expressions analytiques. — En introduisant la fonction de courant b(x, y, t), on a, dans tout le fluide (n° 783), pour les composantes de la vitesse,

ày

d'où, d'après (i),

dx* + dy* '

aÇ.

On peut dire que la fonction ty vérifie à chaque instant cette équation en tous les points de l'aire totale occupée par le liquide dans le plan des xy, Ç étant différent de zéro dans les aires S<, S2, . . . , Sw et nul à l'extérieur de ces aires. Cette fonction <j/ est en outre assujettie à vérifier les conditions initiales et les conditions aux limites. L'équation (4) montre une analogie remarquable entre la fonction ^ et le potentiel logarithmique (n° 605), analogie que nous retrouverons plus loin.

792. Tubes infiniment déliés dans un liquide indéfini dans le sens xOy. — Etudions en détail Je cas particulier où le liquide s'étend à l'infini dans tous les sens dans le plan xOy, comme dans ce qui précède nous l'avons déjà supposé indéfini normalement au plan xOy, on voit que nous sommes en présence d'un liquide indéfini animé d'un mouvement parallèle au plan xOy.

Nous avons étudié d'une manière générale la théorie des tourbillons dans un fluide indéfini (n° 768), et nous avons déterminé la part contributive de chaque élément matériel en rotation dans la vitesse d'un élément quelconque de la masse. On pourra appliquer ces théorèmes au cas actuel. D'après les analogies électrodynamiques que nous avons mises en évidence, chaque tube de tourbillon infiniment délié est analogue à un courant d'intensité I parcourant ce tube; actuellement, tous ces courants sont rectilignes, indéfinis, perpendiculaires au plan xOy, et la vitesse d'un élément dm du fluide est identique à l'action résultante de tous ces courants sur un pôle magnétique placé en dm.

La détermination de la vitesse d'un élément fluide, quand on

CIIAP. XXXVI. — MOUVEMENTS PARALLÈLES A UN PLAN FIXE. <$j5

connaît les positions et les intensités des divers tubes de tourbillon à l'instant considéré, se trouve ainsi ramenée à un problème élémentaire de Physique.

Nous allons traiter directement le problème en envisageant successivement les cas où il y aurait un seul tube de tourbillon infiniment délié, ou un nombre quelconque de ces tubes.

Un seul tube de tourbillon infiniment délié. — Soit à l'instant t un seul tube de tourbillon infiniment délié, d'intensité I, ayant pour trace sur le plan xOy une aire infiniment petite d'àsituée en un point A (fig- 342). La part contributive de chaque

élément infiniment petit de ce tube dans la vitesse W d'un élément liquide placé au point P du plan des xy est perpendiculaire au plan de l'élément du tube et du point P : la vitesse W ellemême est donc aussi perpendiculaire au plan passant par le tube et par P; elle est dans le plan de xy, perpendiculaire à la droite AP, dans le sens dans lequel la rotation Ç des éléments du tube tend à entraîner le point V(fig. 342). Calculons directement la grandeur W de cette vitesse.

Par raison de symétrie, la valeur numérique de W est la même en tous les points d'une circonférence G décrite de A comme centre avec AP = r comme rayon. L'espace occupé par le fluide irrotationnel indéfini extérieur au tube est doublement connexe (n° 763), la circulation a la même valeur numérique sur toutes les lignes fermées entourant une fois le tube : cette valeur est précisément l'intensité I=^2Çd? du tube (nos 751) - 760). Prenons, en particulier, la circulation le long de la circonférence G; nous aurons

I = / u dx -h v dy — I W ds cos( W, ds ),

ds étant un élément de la circonférence C, et l'intégration étant faite le long de la circonférence. Or cos(W, ds) = i, car W est tangent à la circonférence; en outre, W ayant la même valeur numérique le long de la circonférence peut être mis en facteur, et l'on a

= W / ds= W.iizr

2TX r

On a ainsi la distribution des vitesses dans la partie irrotationnelle : la vitesse en P est perpendiculaire au rayon AP = /' et varie en raison inverse de ce rayon.

Quant au tube tourbillon lui-même, il reste évidemment immobile, en vertu de la symétrie du mouvement autour du tube.

On déduit de là les expressions analytiques suivantes pour les projections u et ç de la vitesse W de l'élément liquide placé au point P (x, y). Soient 8 l'angle de AP avec 0.r, a, b les coordonnées du point A; on a

x — a = /'COs6, y — 6 = rsin0,

puis, comme W est perpendiculaire à AP,

u— — Wsinô, p = Wcos6,

d'où enfin, d'après (5),

.fiv __ J Y — b J x — a

Gomme ce sont là les composantes de la vitesse dans la partie irrotationnelle, il existe un potentiel cp des vitesses qui est

(7) cp = — arctang^ = — 6;

la fonction de courant ^ est

(8) ^ =— — Log /O - af+ (y — 6)« = — — Logr.

En désignant par i l'unité complexe y/ — j , nous avons vu que -f- j<l est une fonction de x + iy (n° 793). Actuellement, on a

comme on le vérifie immédiatement. Posons, pour simplifier,

(9) x -+- iy = z} a -+- ib = a ;

nous aurons

(10) o -f- i<b — .Log(z — a).

Enfin, on peut remarquer aussi, soit directement à l'aide des relations (6), soit en prenant les dérivées partielles par rapport à x des deux membres de (10), que l'on a

. . .1 I il

(il) a — iv =

iTzi x — a -h i(y — b) iTzi z — a

Plusieurs tubes infiniment déliés. — Soient, à un instant t, plusieurs tubes rectilignes indéfinis perpendiculaires au plan des xy\ d<y{, dij2-! • • ■ « d<7n les traces de ces tubes sur ce plan en des points A, , A2. . • , An de coordonnées aK , bs , <22, 62, • . . , dm bin et I|, I2, . . •', In les valeurs algébriques des intensités des tubes, d'après la convention faite plus haut (n° 791). Un élément fluide, placé en un point P(.r, y) du plan des xy en dehors des tubes, possède une vitesse W, qui est la somme géométrique des vitesses W< , W2, . . . , W« que posséderait ce point si chacun des tubes existait seul.

Ces vitesses composantes sont déterminées par les formules que nous venons d'établir. Joignons le point P aux points A<, A2, . • • , Aw, où les tubes rencontrent le plan des xy, et soient r{, r2l . . . , ru les longueurs des droites A1 P, A2P, . . . , A^P, et 9, , 92, • • -, §n les angles qu'elles font avec Ox. La vitesse W* dérive du potentiel

la fonction de courant correspondante est

et l'on a

en posant

<H = — ^Logr*,

ç*4-»4»ft= ^.Log(^ — aA),

z = x -+- iy, a/,. = a/c -f- ib/£;

enfin , les composantes u^ eL Vk de celle vitesse W* suivant ces axes sont données par l'équation

Uk — IV k =

D'après cela, la vitesse W du point P, somme géométrique des

vitesses W,, W2, • . -, W/?, dérive du potentiel

(12) ?=2?*= TrT^^'6^

la fonction de courant ^ est

OÙ

Les projeclions w, r de la vitesse W communiquée au point P(œ,y) par l'ensemble des tubes Tn I2, ..., T« sont alors données par l'un ou l'autre des systèmes équivalents

do ôy