IL

peut écrire

aussi

et remarquer

enfin que l'on a

z — ait k = \

i tl

2 7TJ

P = -^ ^ I;fcLog(z — a/c).

Ces formules donnent la distribution des vitesses dans la partie irrotationnelle à un instant t; on en déduit immédiatement les lignes de courant ^ = const.

Mais, quand t varie, les tubes de tourbillons se déplacent en conservant des intensités constantes, de sorte que les coordonnées

an bt, a2, b2-, . • -, (ini bn de leurs traces sont des fonctions du temps. Ce sont ces fonctions qu'il faudrait connaître pour avoir le mouvement des tubes. Nous allons donner les équations qui les déterminent.

Mouvement des tubes de tourbillon infiniment déliés. — Prenons la trace Àj du tube d'intensité It sur le plan des xy et soient, comme plus haut, aK et b{ les coordonnées de cette trace, variables avec t. Gomme un tube de tourbillon est toujours composé des mêmes éléments matériels, la vitesse Y{ de l'élément liquide placé en A, se confond avec la vitesse de la trace du tube et a

pour projections —^- et —tt- Cela posé, cette vitesse V4 est la

résultante des vitesses imprimées à l'élément A{ d'une part par le tube I< lui-même, et d'autre part par les autres tubes I2, I3. ..., \n. Mais nous avons vu (p. 47^) que, si un tube infiniment délié, 1, par exemple, existait seul, il resterait immobile : la vitesse communiquée à l'élément A< par le tube \{ est donc nulle, et la vitesse cherchée V( de cet élément est la résultante des vitesses qui lui sont communiquées par les autres tubes I2, I3, . . ., ln. D'après ce que nous venons de voir (formules i5), les composantes m, v de la vitesse que communiquent à un point quelconque V(x,y) les tubes I2, I3 . . ., ï/i sont données par les relations

(16) u=--, P=-g£, <l désignant la somme

relative à ces tubes, c'est-à-dire, en détaillant, puisque le tube 1 est laissé de côté,

(17) <|/ = (I2Logr2-f- l3Log7'3-f- . . . -hlnLogrn),