I. I-: ll-î-lj
nme la distance A, A2 des deux tubes est constante, les ments GA, el GA2 sont euv-r: - constants : comme le point « i
est fixe, les points A, et A2 décrivent des cercles ayant le point G comme centre. En ouïr-" mme des moments des quantité-
mouvement étant constante par rapport à un axe Gz parallèle aux lobes - points A, et A se meuvent sur leurs cercles respectifs - - constant- Les deux cercle^ que d cri vent le- deux tubes sont
parcourus dans le mènv ou dans «: - contraires, suivant
que le centre de gravité extérieur ou intérieur au seg-
ment A, A.. - vivant quel, et I2 sont d )n-
traires ou de même si^r:
— I = ■. — Si Les deux tubes ont des intensités égales, mais tourbillonnent en se ntraires. on al, — I =
si alors rejeté a l'infini, dans la direc-
lîoi oints A, et A2 décrivent,
égales, des droit - A ,B, ^«Bs perpendiculaire-: à \. A:
les deux \ i te-
I désignant la valeur absolue de l'intensité des deux tube-.
f particule P \ -ur la perpendiculaire CD a 1 milieu
de A,A2 a une vitesse W résultant de deux vitesses W< et W2 provenant des tubes de tourbillon I, et I2 ; ces deux vitesses sont respectivement perpendiculaires à PA, et PA2 dans les sens donnés par les rotations des tourbillons, elles sont égales au quotient de — — 1 par la valeur commune des distances PA, et PA2 ; la
vitesse résultante W est donc dirigée suivant CD. En particulier, la vitesse de la particule placée au point A, milieu de A, A2, est
•2t: AAj -2TC AA2 aie AiA2'
elle est quadruple de ia vitesse V des deux tubes de tourbillon. Atmosphère d'un tube rie tourbillon. — Ce dernier cas particulier fournit un exemple simple d'un fait général signalé par sir W. Thomson (lord Kelvin) dans les Proceedings R. S. Ed., 1 86-, à savoir que chaque tube-tourbillon est accompagné d'une certaine quantité de fluide sans rotation qui lui forme une sorte d'atmosphère. Ainsi, dans le cas de deu\ tubes parallèles et de rotations inverses que nous venons de traiter, la vitesse de translation des tourbillons est moindre que celle qu'ils produisent entre eux sur une certaine étendue du plan médian; il existe un
Fig. 343 bis.
cylindre lieu des points où la vitesse du fluide a sa composante perpendiculaire au plan des deux tubes égale à leur vitesse de translation commune V : c'est ce cylindre qui limite l'atmosphère ; il entoure les deux tubes. A l'intérieur de ce cvlindre, la compo-
santé de la vitesse du liquide parallèle à la vitesse de translation des tourbillons est supérieure à V; elle est moindre à l'extérieur. Les courbes tracées sur la figure 343 bis sont des lignes de flux par rapport aux tourbillons. Les lignes extérieures qui n'ont pas été tracées sont grossièrement parallèles à l'axe de symétrie, dont elles s'écartent pour contourner l'atmosphère des tourbillons mobiles. Les équations de ces lignes sont très faciles à déduire de l'analogie électromagnétique. Elles sont indépendantes de l'intensité (').
793. Tubes de dimensions finies. — Des tubes de dimensions finies peuvent être regardés comme formés par la réunion d'un très grand nombre de tubes infiniment déliés. Soient, à l'instante, St, S2, • • • , Stf les sections des tubes par le plan des xy; divisons S], S2, . . . , S,i en aires infiniment. petites di de coordonnées a et b, et appelons Ç la valeur du tourbillon en d<7. L'ensemble des tubes sera la réunion de tubes infiniment déliés de bases da et d'intensités respectives I = iX^di.
Prenons par exemple le cas d'un fluide indéfini dans tous les sens, parallèlement au plan des xy\ on pourra appliquer à l'ensemble des tubes les théorèmes précédents. Par exemple, le centre de gravité G du système de tubes est immobile ; ce point a des coordonnées x§,y§ données par les formules (G), qui deviennent actuellement
x0 ! ! Çda = I J aÇda,
roffz d° =jfh s dq>
en remplaçant chaque intensité I* par sa valeur iX^dv.
Tube cylindrique homogène dans un liquide indéfini. — Soit, par exemple, un seul tube ayant pour base un cercle S de centre G (fig. 344) etde rayon R : supposons qu'en chaque point du cercle S le tourbillon ait une valeur constante Ç, le tourbillon étant nul à l'extérieur. Cherchons la distribution des vitesses. Tout d'abord, le centre de gravité qui se confond avec le
(') Brillouin, Recherches récentes sur diverses questions d'Hydrodynamique, 1891, p. 18.
centre G du cercle eslfixe. Ensuite, il est évident, par raison de symétrie, que la vitesse W d'un élément quelconque P est per-
pendiculaire à GP et fonction de x, y seulement; le mouvement est permanent. Pour avoir W, prenons la circulation le long d'une circonférence G décrite de G comme centre, avec GP = r comme rayon; cette circulation est
/»A + ^=/wi».(W,4)=«rW.
D'autre part, d'après le théorème de Slokes, elle est égale (n° 756) à l'intégrale double
étendue à l'aire du cercle G. Deux cas sont à distinguer :
i° Le point P est extérieur au tube de tourbillon S, r >>R; alors l'intégrale double (27) est étendue seulement à l'aire du cercle de base S, car, en dehors de S, Ç = o. Comme dans S, Ç est constant, l'intégrale double (27) est
2ÇttR2,
et l'on a (28)
20 Le point P est intérieur au tube de tourbillon S, r<R; alors l'intégrale (27) est étendue à l'aire du cercle G de rayon r, et, comme £ est constant, elle a pour valeur
