TU JEBÀ

la somme étant étendue à toutes les combinaisons des points A^A* deux à deux, de telle façon que, dans cette somme, figure une fois, et une seule fois, la distance de deux des points. En

CHAP. XXXVI. — MOUVEMENTS PARALLÈLES A UN PLAN FIXE. 4$ t

mettant en évidence tous les termes qui contiennent aK et b^ on peut écrire

H = (I2Logri2H-I3 Log /'i3-K ..4- I« Log /'i«)-t-K,

les termes compris dans K ne contenant plus ni «, ni bK : on peut écrire aussi, d'après la valeur (18) de ip,

Donc

0H OJ^ OH dtyj

0av da'i dbx 0b±

On aura de même

OH 0^ — i d^2

Oa^ do,} db-2 " àbi

Les équations du mouvement (19), (19)', • • • peuvent alors être

écrites

clai OH dbx OH

dt àby l dt Oai

da% OH db=> OH

(21) { t~dt=dbï' 2~dt=~àâ'^

dan OH dbn OH

dt 0bn a dt 0aa

où H désigne la fonction (20).

Ces équations sont d'une forme très voisine de la forme canonique (Ghap. XXV) : pour les ramener exactement à la forme canonique, il suffirait de prendre comme variables les quantités

cl=l1bl, c2=I2b2, ..., cn—lnbn,

et d'écrire

dcit OH dci OH

dt 0cl dt 0aY

mais nous laisserons aux équations la forme (21).

Nous allons obtenir quelques propriétés simples du mouvement en nous basant sur certaines propriétés de la fonction H.

Propriétés de la fonction H. — La fonction H dépendant seu-

lement des distances mutuelles rhh des points Ai , . .., A*, ne change pas de valeur quand on déplace l'ensemble de ces points comme une figure invariable.

i° Tout d'abord, imaginons qu'on déplace l'ensemble de ces points d'une quantité infiniment petite parallèlement à Ox : les quantités bx,b%, . . < , bn restent constantes et les quantités «,, <?2, . . . , an augmentent toutes d'une même quantité infiniment petite ùa. La fonction H devant garder la même valeur, sa différentielle totale correspondante est nulle.

dH „

ou encore comme

OH „ dH 9

bci\ H- -7 — oa<

dan

oa ;/ = o,

dH dH dH

dai da2 à a a

Cette identité est d'ailleurs très facile à vérifier directement. De même, en écrivant qu'un transport d'ensemble parallèlement à Oy n'altère pas H, on a l'identité

dbx

àb'n =

2° La fonction H reste inaltérée quand on fait tourner le système des points A* d'un angle infiniment petit 89 autour de l'origine; or on a, dans ce cas, pour les déplacements infiniment petits des points A*,

ùak = — bk<

86/ = ak 80 ,

comme on l'a vu plusieurs fois à propos du théorème du travail virtuel. La variation correspondante de H

.u dH étant nulle, on a l'identité

~dbi

obt

obn

Oci\

dH ai ...-bt

dan

an-Tj-- = o 00 n

facile à vérifier directement.

3° Enfin, nous obtiendrons une dernière identité pour la fonc-

lion H par le théorème des fonctions homogènes. Cette fonction est une fonction linéaire et homogène des quantités Log rnk. Si l'on remplace #a, bh et ak, bk parXa^, \bh,\ak, ^bk, rnk devient Xrhki et Log/'AA devient Log lrhk — Log 77^ + LogX. La formule

H = V lh h Logrhk

donne donc identiquement

H(Xal5 \a2, . . . , Xan, X/31? \b.2, . . . , lbn)

= U(aua,, . .., a,nbub2, . .., bn) — N I/J,

Prenons les dérivées partielles des deux membres par rapport à X, puis dans le résultat faisons \ = 1 ; nous aurons

dH dH . dH dH t V 1 r

(25) ai h . . . -+- an h 6t -T- -+- • . . -4- bn --— = > I/J*,

d<2! o«„ Obi vbn 2ir ^d

identité que Ton pourra vérifier directement. Revenons maintenant an mouvement des tubes.

Théorème I. — Immobilité du centre de gravité du système de tubes.

Considérons le centre G de masses fictives \{ , J5, . . . , ln placées

respectivement aux points A,, A2, . . . , A.n qui forment les traces des tubes de tourbillon sur Je plan des xr. Les coordonnées x0^y0 de ce point sont données par

(G) x0Xlk = Xaklk) y^lk = Lbklk,

les sommes étant étendues aux valeurs 1,2, . . . , n de k. Comme les quantités I* peuvent être positives ou négatives, le point G pourrait exceptionnellement ne pas exister si 2I# était nul; nous écartons ce cas. On a alors le théorème suivant :

Le point G reste immobile. En effet, d'après les équations ( 21) du mouvement, on a, pour les projections de la vitesse du point G,

~di Z 1/l - Zl i/£ If- 2àJFk>

dyo V t Vt dbk Y c^H

dt Zu k " Zà k dt JLàùak

Mais, d'après les identités (22) et (23), les sommes N -. — et

2, -jf- son,; nulles; donc x0 et y0 sont constants, ce qu'il fallait

démontrer.

Dans le cas exceptionnel où 21* = o, le point G n'existe plus, mais on aura toujours les deux équations

dctk Vi T db

aak V< t aok

qui donnent les deux intégrales premières

El/^a/t = const., SI/,- b^ = const.

Théorème II. — La somme des moments d'inertie des masses fictives If, I2, . . ., 1«, placées aux points A< , A2, . . . , Aw, /?ar rapport à un axe fixe Os parallèle aux tubes, est constante.

En effet, d'après les équations du mouvement (21), on a

Faisant la somme de toutes ces équations pour tous les tubes,

on a

d VI . . .. . vi / ^H , r)H

Mais la somme du second membre est nulle, d'après l'identité (24) établie plus haut. On a donc l'intégrale première

Sl/t(a| -4- b\) = const., qui exprime le théorème énoncé.

Théorème III. — Dans le mouvement des tubes la fonction H reste constante.

En effet, la fonction H dépend du temps par l'intermédiaire des lettres «,, a->, ..., an,b^ b-2, ..., bni qui sont fonctions de t. On a donc

dH dti dat dH dbx dH da^ 0H dbn

dt à ai dt dbi dt ' àan dt ôbn dt

~dt

Mais, en portant dans le second membre les valeurs de -,1*

—t^-j ••• tirées des équations du mouvement (21), on trouve immédiatement zéro dans le second membre. Donc la dérivée totale de H par rapport à t est nulle, et H est constant,

H = const..

Théorème IV. — La somme des moments des quantités de mouvement des masses L, 12, . . ., \n par rapport à un axe fixe O z parallèle aux tubes est constante.

En effet, d'après les équations du mouvement (21), on a

V^ w ( dbk 7 dak\ V / ^H . dH

X h ak-r- -bk-r-)=->(ak:— + bi

~dF ~ °k-dt ) =-~ Aà\ak^r,r °kwk

et d'après l'identité (25), déduite du théorème des fonctions homogènes, cette dernière quantité est égale à la constante numérique

Le théorème est donc démontré. Il diffère des précédents en ce qu'il exprime simplement une propriété des équations du mouvement, sans en fournir une intégrale première.

Résumé. — En résumé, nous avons trouvé quatre intégrales premières des équations du mouvement des tubes : deux par le théorème I, une autre par chacun des théorèmes II et III. On peut vérifier que Ton obtiendrait la dernière (th. III) en appliquant le théorème des forces vives à une tranche du liquide comprise entre deux plans fixes parallèles au plan xOy [voir Poijycaré, Théorie des tourbillons, p. 78).

Cas particulier de deux tubes infiniment déliés. — Dans le cas de deux tubes seulement, \K et I2, on peut trouver complètement le mouvement des deux tubes. Nous laisserons au lecteur le soin de traiter directement le problème, et nous le résoudrons en appliquant les théorèmes généraux que nous venons de trouver.

La fonction H est ici

H = 1^2 Logr12.

Nous ns vu que H resle constant pendant le mouvement : donc la distance r,2 des deux tubes est constante.

Supposons I. — I> o : alors le centre de gravité G exista I un point situé sur la droite A, A2 de telle façon que l'on ait grandeur et en si^ne

rA V, A A