CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THEORIE DE L'ÉLASTICITÉ. 5o

de coordonnées

(Pi) a?i = x -+- u, yi= y ~^v, z1=>z -f- w.

Dans cette nouvelle configuration du système, les efforts intérieurs ne sont plus nuls et, en chaque point P1 (xi , y4 , zh) du milieu déformé, les six quantités N et T définies au Chapitre XXX prennent des valeurs NJ, N^, NJ, T] , TJ, TJ qui sont des fonctions de x{, j'\, zK à l'instant considéré, fonctions qui dépendent de l'ensemble des déformations subies par le milieu.

Pour rappeler que ces quantités se rapportent au point xK, yx , zt. nous les affectons de l'indice supérieur i.

Le premier problème à résoudre est de trouver en chaque point xK,yK, z{ du milieu déformé les valeurs deNJ, NJ, NJ, TJ, TJ, TJ connaissant la déformation du système.

Une fois ces valeurs trouvées, on aura pour les équations de l'équilibre ou du mouvement du système les équations suivantes identiques aux équations (i4) du n° 616 :

dxx

dy\

dx±

= Pi(Xi-Ji),

S4=p,(z.-ji).

oz\

où p< est la densité du système au point P{(x^ yl7 z{) après la déformation, X<, Y0 Z4 la force intérieure rapportée à l'unité de masse agissant en ce point, et J' l'accélération en ce point, accélération qui est nulle dans le cas de l'équilibre. Les composantes de l'accélération s'expriment d'une manière simple, comme il suit : on a, à l'instant £,

(3) Xi = x -t- u, /i = / + Y, zx = z -f- w,

U, V, W étant des fonctions des coordonnées initiales x, y, z de l'élément et du temps t : pour un élément déterminé, x, y, z coordonnées de l'élément au temps t0 sont des constantes, eta:h j,, zK sont des fonctions du temps définies par les équations (3). Les

5o4 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DUS MILIEUX CONTINUS.

projections de l'accélération J1 de l'élément sont donc

dt* ' dV-

d'2Zi <92w dt>- =: ~&t*

où nous employons pour les dérivées de u, V, W le d de ronde afin d'indiquer que les dérivées de u, V, W par rapport à t sont prises en regardant x,y, z comme constants.

Servons-nous maintenant de ce fait que la déformation considérée est infiniment petite : il en résulte que xK, y\1 z{ diffèrent infiniment peu de x, y, z\ les valeurs des quantités N], N.J, NJ, T], Ti, TJ au point P< (xi} yt, z{) diffèrent infiniment peu de leurs valeurs N, , N2, N3, T4 , T2, T3 au point P(.r, y, z), et les dé-

dN1 dT} . . . dNi

rivées partielles -— l-, -—?-, ••• diffèrent infiniment peu de -r— >

-— ^> • • •• De même, la densité p1 et la force X4 , Y1 , Z, au point xK ,

jKu zK diffèrent infiniment peu de la densité p et de la force X, Y, Z au point x, y, z. Les équations (2) peuvent donc être remplacées par les suivantes qui s'en déduisent en écrivant N4 , . . . , T3, - . . au lieu de IN] , . . . , T3, . . . , p au lieu de p4 , X, Y, Z au lieu de X<, Y< , Z1 et en mettant pour J.J., J!., J! leurs expressions (4)

ôNy àT, dT2 / d*u'

dx ôy àz \ Ot-

0T2 \ dT^ t)N3 / __ ^w '

dx ôy dz \ df.'1

Remarque sur la définition de V état naturel. — Nous venons de donner une définition purement théorique de l'état naturel. On peut aussi, et c'est ce que fait par exemple M. Poincaré dans ses Leçons sur V élasticité (Carré et Naud, 1892), considérer comme état naturel un étal d'équilibre contraint quelconque obtenu par l'action de certaines forces et supposer que l'on déforme le milieu, à partir de cet étal, en faisant agir de nouvelles