CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE l' É L A ST I G IT É . 5[I

avec

, . A du dv t)w

(iq) 6= h h -— •

v v' Ox Oy àz

Résumé des liaisons géométriques entre les deux quadriques. — L'identité (16) montre que les deux quadriques (Q) et (E) ont les mêmes plans de sections circulaires. Cette propriété entraîne la première, à savoir que les deux quadriques ont les mêmes plans principaux. On achèvera de caractériser la relation qui lie les longueurs des axes des deux quadriques, en remarquant que l'on a

N, -h N2 H- N3 = — ( 3 1 h- 9. jji) ( s! -+- s2 -h £3 ).

800. Constantes caractéristiques d'un milieu élastique homogène et isotrope. — Les deux constantes X et fj. caractérisent le milieu élastique isotrope considéré. Cauchy (*), en adoptant l'hypothèse des forces centrales, a montré que si la déformation a lieu à partir de l'état naturel, on a, pour les solides,

Mais cette conclusion, fondée sur une hypothèse trop étroite, doit être rejetée. On admet, par exemple, dans la théorie de la lumière, que l'éther, en dehors des corps cristallisés, est un milieu élastique isotrope pour lequel À+2a = o. D'autre part, pour un fluide parfait élastique, jjl est nul, cardans un fluide parfait tous les efforts tangentiels intérieurs sont nuls : les quantités Tl5 T2, T3 doivent alors toujours être nulles, ce qui exige [Ji = o.

C'est surtout par le rapport — qu'est caractérisé un milieu

élastique : Kirchhoff désigne ce rapport par ik\ MM. Cosserat ont introduit le nomhre

M. Duhem (Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique, t. II, p. 2i3-2i4, 23i, 240) discute le problème et met en évidence l'hypothèse suivante, souvent adoptée :

|ji > o, 3 X -4- 2 [j. > o,

(') Vroir Anciens exercices, 1828; voir également Théorie de l'élasticité des corps solides, par Clebsch, traduction Saint-Venant, p. 79.

c'est-à-dire

îJ-> o, £— - >0.

La même question est aussi envisagée par M. Gesàro (Introduzione alla teoria matematica délia élasticité, p. 34)-

En se plaçant à un point de vue analytique, on peut enfin se demander pour quels systèmes de valeurs de X et jjl les problèmes énoncés aux nos 801 et 80i2 ont une solution unique.

801. Équations de l'équilibre et du mouvement intérieurs. — En remplaçant, dans les équations (5) du n° 797, les N et les T par les valeurs (18) que nous venons de trouver, on obtient, pour déterminer les déplacements u, v, w en fonction de x, y, z. t, les équations différentielles

a+j^+^Au + pX^p — , (20) { (Xh- \l)j- + fxAv-4-pY = p^

( + ^dz + !J-Aw+PZ = P"^T'

où G a la valeur (19) du numéro précédent et où le symbole A, appliqué à une fonction F, désigne, comme précédemment, l'opération

dx% à y'1 ds2

Dans chaque problème particulier, il faudra Irouver des fonctions u, V, W vérifiant les équations différentielles (20) qu'on appelle les équations indéfinies, et satisfaisant, en outre, aux conditions initiales et aux conditions aux limites.

Conditions initiales. — Les conditions initiales consistent en ce que, à l'instant t = o, les positions et les vitesses des points

du milieu sontconnues : les fonctions u, V, W et leurs dérivées — >

1 1 dt

-— ? -r— doivent donc prendre, pour £=o, des déterminations dt dt 1 ' 1 •>

connues en x, y, z.

Conditions aux limites. — Les conditions aux limites consistent en ce que, pendant toute la durée du mouvement, les éléments de la surface extérieure du milieu sont assujettis à certaines conditions : il peut, par exemple, arriver que la distribution des efforts