CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L ' É L A ST I C I T É . 5c

symétriques par rapport à ces mêmes plans; donc les efforts sont aussi distribués symétriquement par rapport à ces plans, et la quadrique directrice des efforts admet ces mêmes plans comme plans principaux.

Imaginons qu'on prenne les axes PX, PY, PZ comme axes de coordonnées; l'équation de la quadrique Q devient

et celle de la quadrique (E)

Les coefficients n{J n2, n3 de la quadrique (Q) sont, dans ce nouveau système d'axes, donnés en fonction des coefficients eKl e2l e3 de la quadrique (E) par les formules (9) qui sont indépendantes du choix des axes : comme, actuellement, les valeurs de yi, Y2? f3 sont nulles, on aura, en particulier,

n1 — Ai^-h A2e2-f- A3e3.

Mais, si l'on permute les axes PY etPZ, le coefficient nK de l'équation (10) ne change pas et les coefficients e2 ete3 de l'équation (11) se permutent. Donc nK ne doit pas changer quand on permute e2

et <?3, et l'on a

Nous aurons alors

/z, = A] ei-r- A2(e2-+- e3), ou encore

(12) ni = (Ai— A2)ei-h A2(ei-t- e2+ ez).

La somme eK -\- e2 + e3 est le coefficient de dilatation cubique 0

au point P :

Nous écrirons alors l'expression (12) de nK : (i3) ni = — X6 — 2 fi. ei,

\ et [j. désignant de nouvelles constantes. En permutant circulairement les axes PX, PY, PZ, c'est-à-dire nu n2) ns et eK , e2, e3, on a

/ ,, l n2= — XG — 2|j.e2,

(l4) ia

I n3 = — À 6 — i\xe%.

5lO ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Dès lors, le premier membre $(X, Y, Z) de l'équation (10) de la quadrique (Q) est lié au premier membre de l'équation (11) de (E) par l'identité

(i5) *(X, Y, Z) = - u. W(X, Y, Z) - (X6 - hO (X«+ Y2 + Z«),

qui montre comment l'équation de l'une des quadriques se déduit de l'équation de l'autre.

Si l'on revient maintenant aux axes primitifs Vx' , Pjk'j P^'> la fonction <Ï>(X, Y, Z) se transforme en <p(#', y', s'), la fonction W(X, Y, Z) en ù(x', y' ', s'), et enfin X2+ Y2-f- Z2 se transforme en

L'identité (i5) donne alors la suivante :

ou, en remplaçant cp et ^ par leurs expressions développées,

Nia?'*-H N2j'2h- N3^'2+ 2Tlt/V-f- 2T^'t'+ 2T3a?y

= — [Jt[(l+2£1)^'2+(l-[-2£2)7'2

-h (i -h 2£3)^'2+ 2Yij'^'-l- Zfajtfx'-h 2Y3a?y] — (X6— (JL)(a7'2-H/2 h(Z'2)#

En écrivant que le premier membre est identique au second, on a les relations

f Ni = — X6 — 2[j.£,, Ti = — [jlyi, (17) < N2 = — X6 — 2[Ji£2, T2 = — p-Ya»

( N3 = — Xe — 2^£3, T3 = — fxy3,

où

0 = ÎJ+ B2-+- £3.

Ces relations donnent, pour un milieu homogène et isotrope, les expressions des N et T en fonction des s, y avec deux constantes \ et {jl. D'après les valeurs des £ et y en fonction de u, v, W dans le cas d'une déformation infiniment petile [éq. (7)], les expressions ci-dessus s'écrivent

N3 = — XO — 2 [a-— -, T3 = — {ji(— ),

dz ° r\dx dyj