II. — ÉQUILIBRE ÉLASTIQUE

802. Équations de l'équilibre élastique. — Imaginons un milieu élastique dans l'état naturel, puis déformons le système en faisant agir des forces extérieures : i° sur les éléments de sa surface extérieure; 20 sur les divers éléments de volume. Supposons que, dans ces conditions, le système prenne un état d'équilibre contraint, la déformation étant infiniment petite. En appelant u, v, w les déplacements subis par un point quelconque P(xyy, 5), on voit que ces quantités ne dépendent pas du temps, puisque, après la déformation, les particules restent immobiles. Les dérivées

-— - y • • • sont donc nulles.

otl

Les équations générales (20) donnent alors les équations indéfinies de l'équilibre élastique sous la forme

( + {X)~d~y + !J-Av + P^ = °»

( X -+- \L) -r- -h [JL AW -f- p Z =0,

. du ôv ÔMV

\ 03C Oy oz

Pour obtenir la déformation subie par le corps, il faudra trouver des fonctions u, v, w de a?, y, z vérifiant ces équations et satisfaisant aux conditions aux limites.

Conditions aux limites. — Les fonctions u, v, w doivent, sur la surface extérieure S du corps, vérifier des conditions qui peuvent être de formes diverses :

i° Dans certains problèmes, les déplacements des points de la surface sont donnés à l'avance; alors u, V, "W doivent prendre, sur la surface S du milieu, des valeurs données à l'avance.

2° Dans d'autres problèmes, on donne la force extérieure élémentaire ¥ed<j que l'on fait agir sur la face extérieure de chaque élément do- de la surface S limitant le corps. Soient a, (3, y les cosinus directeurs de la normale à l'élément da vers l'extérieur de la surface S, et Xe<i<r, Ye é/c, Ze de les projections de la force extérieure Fed<7 appliquée à la face positive de do-. L'élément de est attaché au milieu par sa face intérieure ou face négative : sur cette face s'exerce un effort provenant de l'action du milieu sur cet élément et ayant pour projections :

T-r da, Tj c/<7, T2 d<j, T^, Tj, Tz étant donnés par les relations (i)

Comme l'élément considéré da est en équilibre, les forces appliquées sur ses deux faces se font équilibre et l'on a

Xe d<i -+- Tx de D'où les trois conditions

xe

Ni

Ye

OC -fr-

Nj

Tï

ze

OC -h

qui doivent être remplies en tous les points de la surface. Si, dans ces conditions, on remplace les N et les T par leurs expressions (18) en fonction des dérivées partielles des u, V, W, on obtient trois relations différentielles que doivent vérifier les u, V, w sur la surface.

Quand les conditions aux limites sont définies de cette façon, les forces extérieures données Xoû(t, Yo <^t, Zp dz et Xe ûfo-, Yed<r, 7jed<7, appliquées aux éléments de volume dz et aux élé-