CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L 'É L A S T I C I TÉ . 5l

ments superficiels é/o-, doivent évidemment vérifier les six conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un corps solide, puisque, sous l'action de ces forces extérieures, le système est en équilibre après sa déformation.

3° On peut combiner entre elles les deux espèces de conditions aux limites qui précèdent. On peut, sur certaines parties de la surface S du milieu, se donner les déplacements et, sur les autres, les forces extérieures lLed<7, Yed<7, Zied<7.

4° Enfin, on peut, comme l'ont fait MM. Cosserat (n° 801), se donner à la frontière une combinaison linéaire du déplacement et de l'effort.

Le milieu étant donné, ainsi que ces conditions aux limites, il existe une seule déformation possible pour des valeurs convenables de X et p.. C'est là un théorème fondamental que l'on a quelquefois regardé comme évident au point de vue physique, mais qu'il importe de démontrer analytiquement. Cette démonstration a été donnée par Betti et Kirchhoff pour certaines conditions aux limites et complétée par MM. Cosserat (voir n° 809).

Nous admettrons ici ce théorème. Il en résulte que si, par un procédé quelconque, on a découvert des fonctions u, V, W de x, y, z vérifiant dans le milieu les équations indéfinies (21) et sur la surface les conditions aux limites, la déformation correspondante est précisément celle que subit réellement le milieu. Cela ne veut pas dire qu'il n'y a jamais qu'un système de fonctions u, V, W vérifiant les conditions énoncées, mais que, si l'on a un système particulier de fonctions u, v, W vérifiant ces conditions, le système le plus général de fonctions qui les vérifie représente, pour chaque point, un déplacement qui s'obtient en composant le déplacement particulier u, v, w de ce point avec le déplacement qu'il subirait dans un déplacement d'ensemble de tout le système regardé comme un solide invariable de forme (translation et rotation infiniment petites). Tous les systèmes de déplacements ainsi obtenus doivent être regardés comme équivalents. Dans le cas particulier où les déplacements eux-mêmes sont donnés à la frontière, il n'existe qu'un système de fonctions u, V, W pouvant vérifier les conditions données.

On pourrait dire aussi qu'aux conditions imposées au milieu correspond, dans le milieu, un seul système de déterminations

5l6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

des six fonctions s< , £2? £35 Yij Ys> Y3 caractéristiques de la déformation.

803. Superposition des déformations. — Les équations d'équilibre et les conditions aux limites sont linéaires. Par conséquent, on obtient la déformation infiniment petite produite à partir de l'état naturel par plusieurs systèmes de forces extérieures agissant à la fois, en ajoutant les déformations que produirait chacun des systèmes séparément à partir du même état naturel. Soient u, V, W les déplacements correspondant au système de forces extérieures Xorfi, Yorfx, Zod-ï agissant sur les éléments du volume et Xe <fo-, Yed<r, Xed<j agissant sur les éléments de la surface extérieure ; soient de même u', v', w' les nouveaux déplacements à partir du même état naturel produits par les forces K' p dz, . . ., X'e û?<t, .... On vérifie immédiatement, par addition, que toutes les équations sont satisfaites par le déplacement u + u', v -f- v', w + w', quand le milieu est soumis à l'action des forces

(X-t-X')prfx, ..., (Xe-hX'e)d<7, ...,

c'est-à-dire des deux systèmes de forces agissant simultanément. Si donc un milieu élastique est dans un état d'équilibre contraint résultant dune déformation infiniment petite produite par un premier système de forces extérieures, les déplacements produits, à partir de cet état, par l'adjonction d'un deuxième système de forces extérieures sont sensiblement identiques à ceux que produirait ce deuxième système à partir de l'état naturel. Cette proposition ne s'applique, bien entendu, qu'aux déformations infiniment petites.

804. Cas où il existe un système de déplacements dérivant d'une fonction. — Supposons que, parmi les systèmes équivalents de déplacements remplissant les conditions indiquées, il y en ait un qui dérive d'une fonction cp (x, y, z), c'est-à-dire qui soit tel que

dco dcp Ô(û

ax ôy az

on peut caractériser ce cas par ce fait que les composantes de la rotation moléculaire (n° 682) sont nulles dans tout le milieu

de

dO

Aw = -T-

ày

àz