CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THEORIE DE L ' É L A S T I C I T É . 53 I

La première question à traiter est de préciser, autant que possible, pour quelles valeurs de £ la solution (si elle existe) est unique. MM. Cosserat

ont établi (l) que la solulion est unique, non seulement pour £ > -> comme cela résultait des recherches antérieures, mais même pour

Ils ont ensuite étudié u, v, w comme fonctions de \ (réel ou complexe ) et ils ont cherché à établir (2) que ces fonctions sont uniformes et ont tous leurs points critiques réels et situés à gauche de — i sur l'axe des quantités réelles. Malheureusement ici, les difficultés, relatives à la façon dont les dérivées se comportent à la frontière, se présentent et entraînent à introduire dans les démonstrations des restrictions.

Il resterait encore à montrer, comme cela est vraisemblable (3), que, dans des cas généraux, les points critiques de u, V, w sont généralement des pôles et à établir la possibilité de développements analogues à (b).

Relativement au second point, MM. Cosserat ont obtenu pour la sphère (l) les nombres kt et les fonctions U/, V/, W, en reprenant' les formules données par Lord Kelvin. Ils les ont également déterminés pou r l'enveloppe sphérique (4) et pour l'ellipsoïde (3); dans ce dernier cas, les fonctions Uj, V/, W/ sont, comme pour la sphère, des polynômes.

III. Considérons le problème qui consiste à déterminer une fonction v satisfaisant aux conditions

ou plus généralement aux suivantes (6)

(d) Ap h- t v -4- / = o, — -4- h v = o.

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géomètres italiens) ne paraissent pas s'être préoccupés de préciser l'énoncé de leur problème et d'examiner si la solution existe effectivement.

( ' ) Sur les équations de la théorie de l'élasticité (Comptes rendus, t. GXXVI, 1898, p. 1089).

(2) Sur la solution des équations de l'élasticité, dans le cas où les valeurs des inconnues à la frontière sont données (Comptes rendus, t. CXXXIII, 1901, p. i45).

(3) On peut ici répéter des raisonnements analogues à ceux faits sur l'équation A m + \u +/= 0 avant la publication du Mémoire cité de M. Poincaré.

(4) Sur la déformation infiniment petite d'une enveloppe sphérique élastique (Comptes rendus, t. CXXXIII, 1901, p. 326).

(5 ) Sur la déformation infiniment petite d'un ellipsoïde élastique (Comptes rendus, t. CXXVII, 1898, p. 3i5).

(6) Poincaré, Sur les équations de la Physique mathématique, p. 1 25.

Le problème d'élasticité analogue à celui qui est défini par les équations (c) consiste à déterminer trois fonctions u, v, w vérifiant les équations («), et pour lesquelles les valeurs à la frontière des composantes de l'effort sont données.

MM. Cosserat ont établi que les seules valeurs de ç, pour lesquelles on

est certain que la solution est unique, sont celles plus grandes que -, et que, pour la valeur - de \, la solution ne peut être unique; ils ont donné,

pour cette valeur - de £, les expressions de U, V, W qui vérifient les

équations (a) et qui, à la frontière, annulent l'effort (1).

Ils ont déterminé les nombres ki et les fonctions U;, V/. W/ analogues aux nombres kt et aux fonctions U/, Vz-, W; du § II pour le cas de la sphère (2), de l'enveloppe sphérique (3) et de l'ellipsoïde (4).

IV. Il est à remarquer que l'on obtient un certain nombre de résultats connus en supposant les données choisies de telle façon que les inconnues u, v, w soient de la forme (b), les seconds membres étant des sommes d'un nombre limité de termes.

Ainsi, MM. Cosserat ont signalé le cas remarquable où les valeurs données à la frontière des composantes de l'effort sont telles que u, v, w aient des expressions de la forme

li -s -i

Ces formules donnent, comme cas particuliers, des résultats classiques obtenus par Lamé (5) et par Barré de Saint-Venant.

Au même ordre d'idées peuvent se rattacher les résultats particuliers obtenus en i8g5 par M. Ghree à l'égard de l'ellipsoïde. (Exercice 5, p. 53g.)

( ') Sur un point critique particulier de la solution des équations de l'élasticité, dans le cas où les efforts sur la frontière sont donnés (Comptes rendus, t. CXXXIII, 1901, p. 382).

(2) Sur la déformation infiniment petite d'un corps élastique soumis à des forces données (Comptes rendus, t. CXXXIII, 1901, p. 271).

( 3) Sur la déformation infiniment petite d'une enveloppe sphérique élastique (Comptes rendus, t. CXXXIII, 1901, p. 326).

( 4) Sur la déformation infiniment petite d'un ellipsoïde élastique soumis à des efforts donnés sur la frontière (Comptes rendus, t. CXXXIII, p. 36i-364 )• Cette Note est aussi relative au problème analogue à celui défini par les équations (d) (même remarque pour l'enveloppe sphérique élastique).

(5) Voir, entre autres, les résultats des nos 806, 807, 808, et le résultat indiqué à l'exercice 4 de la page 538.