CHAPITRE XXXVII. — SUR LA THÉORIE DE L ' É L AS T I CI TÉ

idées, qu'il n'y ait pas de forces extérieures agissant sur les éléments de

volume. En posant

nous écrirons, avec MM. Cosserat, les équations (27) sous la forme

(a) Au + £— = 0, Av-h£^-=o, ^w+ -=o,

ox oy àz

I. Les questions relatives au système (a) présentent avec celles qui sont relatives à l'équation de Laplace et aux équations similaires une analogie étroite qui, quoique ne se poursuivant pas jusqu'au bout, peut être étudiée avec fruit.

Considérons, par exemple, le problème (!) qui consiste à déterminer une fonction v qui s'annule à la frontière d'un domaine et qui, à l'intérieur, vérifie l'équation

Ac + ^ + /=o.

i° L'idée, qui a sans doute guidé dans cette question, a été de représenter la fonction v par le développement formel

AfU/ l — ki

(où les A/, kt sont des constantes, les U/ des fonctions de x,y, z), sauf ultérieurement, si c'est nécessaire, à le modifier convenablement (2) par l'application du théorème de M. Mittag-Leffler, par exemple.

On voit immédiatement que la fonction U; doit s'annuler à la frontière et vérifier à l'intérieur l'équation (3)

AU, — ki\Ji= o.

i° Admettant que le problème a une solution, supposons que Ion envisage la question de savoir si cette solution est unique; on est conduit de nouveau aux nombres A7 et aux fonctions Uf- correspondantes. Car, si pour une valeur k de £ le problème proposé a deux solutions pl5 p2? ^a différence U = Vy — P2 s'annule à la frontière et vérifie à l'intérieur l'équation

AU-f- A"U = o.

II. Par analogie avec la question précédente, envisageons le problème qui consiste à déterminer trois fonctions u, v, w qui, à la frontière d'un

{x ) Poincaré, Sur les équations de la Physique mathématique, p. 65. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. VIII, 1894.

(2) Poincaré, Sur les équations de la Physique mathématique, p. 148, i49*

(3) Il en résulte entre deux fonctions U-, U- correspondant à des nombres A",-,

£. la relation / / l\]i\}dx = o qui permet de construire le développement conformément à la méthode habituelle de la Physique mathématique.

domaine, prennent des valeurs données et qui, à l'intérieur, vérifient ( l ) le système (a).

i° Supposons que Ton cherche à représenter les fonctions u, v, w par les développements formels :

AtktYt

w-Wo+c 7 , -7 y— '

u0, v0, w0 étant des fonctions de ce. y, z qui, à la frontière, prennent les valeurs données pour u, v, w; les A/, ki sont des constantes; les U/, V/, W/ sont des fonctions de ce, y, z.

On trouve immédiatement que U/, V/, W/ doivent s'annuler à la frontière et vérifier le système (a) où l'on suppose £ = ki {-).

2° D'autre part, si l'on admet l'existence de la solution et si l'on examine la question de savoir si elle est unique, on est conduit de nouveau aux nombres ki et aux fonctions (U*, V/, W,) correspondantes.

MM. Cosserat ont cherché, d'une part, à mettre en évidence la possibilité des développements (6), ou de ces développements modifias par le théorème de M. Mittag-Leffler, et, d'autre part, à déterminer effectivement pour des corps donnés les nombres ki et les fonctions U/, V,, W; correspondantes.

Le premier point présente de grandes difficultés que ces auteurs n'ont pu jusqu'ici que surmonter partiellement. Il est tout d'abord essentiel de préciser l'énoncé de la question à l'égard des conditions de continuité vérifiées par les inconnues. Il ne paraît plus possible ici, comme cela arrive pour l'équation de Laplace (3), de faire abstraction de la façon dont se comportent les dérivées à la frontière.

(*) On peut considérer aussi bien le cas où l'on aurait des seconds membres qui ne seraient pas nuls.

(2) De là résulte entre deux systèmes de fonctions (U-, V-, Wt-), ( U , V , W )

construire le développement conformément à la méthode habituelle de la Physique mathématique.

(3) Pour l'équation de Laplace, on peut résoudre le problème de Dirichlet, puis s'occuper, comme l'a fait, par exemple, M. Liapounoff, de la façon dont se comporte à la frontière la dérivée normale. Ici, l'analogie ne semble pas pouvoir se poursuivre et l'on est ainsi conduit dans les démonstrations à des restrictions au sujet de l'existence de la solution. Il est à remarquer que les auteurs qui ont traité, par exemple, du problème de la sphère (comme Lord Kelvin, Lamé et les