CHAP. XXXVIII. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT D'UN LIQUIDE

813. Équations du mouvement. — D'après ces valeurs (9) des N et T, les équations du mouvement (1) deviennent

do db'

du dv dw

âx ày âz

où J,x, Jy, J- s'expriment, comme nous l'avons vu dans la cinématique des fluides, soit avec les variables de Lagrange, soit avec celles d'Euler.

Cas d'un liquide visqueux. — Pour un liquide incompressible, 0' est nul : les équations du mouvement (10) prennent donc la forme

^-f*'A« = p(X-J«)J { ^ -^Ap = p(Y-Jy),

— p.'Aw = p(Z — J,),

avec un coefficient \x' appelé coefficient de viscosité du liquide.

Cas d'un gaz. — Pour les gaz, on fait quelquefois une hypothèse supplémentaire permettant d'établir une relation entre X' et \x'. Cette hypothèse est la suivante :

Si l'élément gazeux dm se dilate également dans toutes les directions, les composantes normales Nj. N2, N3 deviennent égales à la pression p, ou encore les quantités N'l5 N'2, N'3 deviennent nulles.

Dire que l'élément dm se dilate également dans tous les sens, c'est dire que l'ellipsoïde des dilatations (n°C68) est une sphère zx = s, = £3, et, par suite, Ej = sÇ = £3. Les N' données par les relations (7) devraient donc s'annuler quand z\ = £ '2 = £3 , ce qui exige

(12) 3X'-t- 1 \x' = 0, ou £' — — =0

t< X' en posant § = — , -pi.

Les applications de ces équations sont peu nombreuses et présentent de grandes difficultés. On en trouvera quelques-unes dans l'Ouvrage souvent cité de Basset, dans la Mécanique de Kirchhoff, dans les Leçons sur la théorie des tourbillons de M. Poincaré, dans divers Mémoires de M. Boussinesq, enfin dans la Thèse de M. Nau sur le clapotis (Gaulhier- Yillars, 1896). M. Duhem a indiqué, dans les Comptes rendus du 12 mai 1902, une autre théorie de la viscosité.