X-JA

Si le fluide était parfait, on aurait (n° 722)

(') Basset, Treatise on Hydrodynamics, t. II, Chap. XX.

CHAP. XXXVIII. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT D'UN LIQUIDE. 54 f

Nous poserons en conséquence, dans un fluide visqueux,

(2) N, =/>-+• Ni, N.,=/? + N;, N3=pM-N'3.

Nous pourrons dire alors que, si le fluide était parfait, Ni, N'2, N'3, Ti, T2, T3 seraient nuls, en chaque point, à chaque instant.

D'autre part, si le fluide, tout en étant visqueux, était en équilibre, les mêmes quantités N'n N'2, N3,T1,T2, T3 seraient aussi nulles, car, pour qu'un fluide visqueux ou non soit en équilibre, il faut que tous les efforts intérieurs soient des pressions normales (n° 623). D'après cela, les quantités Nj, N'2, N3, T1? T2, T3 s'annulent quand toutes les vitesses sont nulles.

812. Détermination des efforts en fonction des dérivées des composantes de la vitesse. — Dans un fluide en mouvement, lorsque t varie de t à t-\-dt, les points P du fluide subissent des déplacements PPj ayant pour projections

(3) u = udt, v = vdt, -w = wdt.

Si l'on prend un élément fluide dm entourant le point P à l'instant /, cet élément, à l'instant t-\-dt, prend une nouvelle forme et une nouvelle position dnii entourant Pi. Nous avons vu, au n° 705, que l'on peut passer de dm à dm^ en faisant subir à dm :

i° Une translation d'ensemble;

2° Une rotation d'ensemble;

3° Une déformation.

Le frottement résulte uniquement du déplacement relatif des points du fluide : la translation et la rotation, n'altérant pas les positions relatives des points de l'élément dm, ne donnent naissance à aucun frottement intérieur; c'est seulement la déformation qui détermine le frottement.

Les quantités N'1? N2, N3, Tt, T2, T3, qui représentent l'effet du frottement intérieur, dépendent donc uniquement des éléments caractéristiques de la déformation subie par dm. Or, nous savons que, dans une déformation infiniment petite, définie par les déplacements u, v, w, les six éléments caractéristiques de la déformation sont (n° 684)

du dw àv

£l — , . . . , Yi — — — -t- j- > • • ■ ; ox Oy az

actuellement, d'après les expressions (3) des déplacements u, v, w, ces six quantités sont

Ou 7 / dw dv\ .

1 = 35*' ••" '" = {jp + àï)dt' ■■■'

et la dilatation cubique 0 a pour expression

, du dv dw .

0 = ( — + — H-— )dt.

ox oy oà

Ces quantités s et y sont de l'ordre de dt : les six quotients

sont finis et mesurent ce qu'on peut appeler la vitesse de déformation en P; ces quotients sont

"Tz

ày

SF'

ày

Le quotient de 6 par dt mesure de même la vitesse de dilatation cubique 8' :

,~s du dv dw , .

dx dy dz

Les quantités N'1? N'2, N3, T1? T2, T3 sont alors des fonctions de z\, s'2, £•{, y\, y'2, y'a s'annulant quand toutes ces variables sont nulles, carlesN',T sont nuls dans l'équilibre, comme nous l'avons dit plus haut. Nous admettrons que les vitesses w, p, w et leurs dérivées par rapport à a?, y, z soient assez petites pour qu'on puisse négliger les carrés et les produits de ces dérivées. Alors, en développant par la formule de Mac-Laurin les N' et les T considérés comme fonctions des s', y', on pourra borner ces développements aux termes du premier degré et prendre pour les N' et les T des fonctions linéaires et homogènes des s', y'. Ces six fonctions linéaires de six variables contiennent trente-six coefficients; mais le fluide étant isotrope dans la particule infiniment petite dm, les considérations de symétrie employées en élasticité (n° 799) permettent de réduire ces coefficients à deux et donnent finalement, pour les N' et les T, les expressions suivantes en fonction des e', v' •

(7) Ni = — X'6'— 'ajji'eî, T* = — n'tf;

X' et {jl' désignant deux constantes analogues aux constantes X et (jl de la théorie de l'élasticité. D'après les valeurs (5) des s', y', on a finalement

( tv, VA' >dlt T ' lÔW , ÔÇ

En se reportant aux équations (2), on a

i TVT MAf , ^M ™ , /^W ^P\

(9) N'=^-A0-^V Tï=-ft(^ + 3ï)