Objet de ce paragraphe. — L'équation de Laplace

AU

<).r- ôy- Oz-

joue un rôle très important en Physique où elle se rencontre dans les questions suivantes : l'attraction, l'électricité statique et dynamique, le magnétisme, la propagation de la chaleur, l'hydrodynamique.

Nous venons de voir, en effet, que le potentiel dû à l'attraction newtonienne, ou à l'attraction de masses électriques ou magnétiques vérifie l'équation de Laplace en dehors des masses attirantes ; en outre ce potentiel est nul à l'infini. Le flux de force se dirige dans le sens du potentiel croissant s'il s'agit de l'attraction de Newton, et dans Je sens du potentiel décroissant s'il s'agit des attractions électriques ou magnétiques.

Dans la théorie de la propagation de la chaleur, d'après Fourier, on rencontre également l'équation de Laplace. Imaginons en effet un milieu conducteur de la chaleur, homogène et isotrope, c'est-à-dire jouissant des mêmes propriétés dans toutes les directions. Supposons ce milieu limité par des surfaces maintenues à des températures, constantes en chaque point, mais pouvant varier d'une manière continue d'un point à l'autre des surfaces limites. Il s'établit alors un équilibre de température dans ce milieu : une fois cet équilibre atteint, la température U en chaque point du milieu est une fonction des coordonnées x, y, z vérifiant l'équation AU= o. Les surfaces U = const. s'appellent alors surfaces isothermes. Le flux de chaleur à travers un élément da du milieu marche dans le sens des températures décroissantes et son III. 6

dJJ

expression est — k -r~ da, k étant le coefficient de condactibilll<'j

du milieu et -7— la dérivée de U prise normalement à l'élément. Si

an l

le milieu conducteur est illimité, l'action des sources de chaleur ne se fait pas sentir à l'infini.

Enfin, en Hydrodynamique, on rencontre la même équation dans les conditions suivantes : Imaginons un liquide animé d'un mouvement permanent dans une certaine région de l'espace. Alors les molécules liquides qui passent successivement en un point géométrique déterminé x, y , z y passent avec une vitesse constamment la même : soient u, v, w les projections de cette vitesse; ces quantités sont des fonctions de x, y, z vérifiant la condition d'incompressibilité

„ . du dv dw

ox oy oz

que nous établirons plus tard. Supposons que ces vitesses dérivent d'un potentiel U, c'est-à-dire que l'on ait

dx dy dz '

alors la fonction U est, d'après (1), assujettie à vérifier l'équation de Laplace AU = o, dans toute la masse liquide. Les lignes de force sont ici remplacées par les trajectoires des molécules. Le flux de force à travers un élément do- est remplacé par le volume du liquide traversant cet élément pendant l'unité de temps

-y— ai.

an

Chaque propriété des fonctions vérifiant l'équation AU = o pourra être interprétée dans ces trois ordres de phénomènes. Inversement, certaines propriétés des fonctions vérifiant cette équation peuvent devenir intuitives, suivant qu'on les interprète de l'une ou l'autre façon.

Nous allons indiquer les propriétés les plus importantes des fonctions vérifiant l'équation AU = o, fonctions que nous appelle-