CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
d'autre. En effet, s'il en était ainsi, on pourrait, d'un point quelconque A de cette surface comme centre, décrire une sphère d'un
rayon assez petit pour que, sur cette sphère, -7— ait un signe constant, excepté peut-être le long de la ligne d'intersection de la sphère et de la surface où -7— pourrait être nul. En effet, si U, est,
sur la surface, plus grand que dans le voisinage, U décroît quand on s'éloigne de A dans une direction quelconque, sauf pour les directions situées sur la surface pour lesquelles U est constant. Mais alors l'intégrale
étendue à la surface de cette sphère serait différente de zéro, car tous les éléments auraient un signe constant; ce qui est en contradiction avec l'équation (4).
On voit de même qu'il est impossible que, le long d'une ligne, U ait une valeur constante plus grande (ou plus petite) que les valeurs aux points voisins.
Enfin, il est impossible que, dans la région considérée de l'espace, il y ait un volume v dans lequel U serait constant, de telle façon que dans le voisinage immédiat de v, U soit constamment plus grand (ou plus petit) que dans v. En effet, s'il en était ainsi, en prenant un point quelconque A sur la surface s limite de p, et décrivant de ce point comme centre une sphère d'un rayon suffisamment petit, on aurait :
i° Sur la portion de surface sphérique extérieure à c, pour
dU
-j— un signe constant;
o c 1 r • * » ■ dU
2° cnir la portion intérieure -7— = o.
L'intégrale (5) étendue à l'aire de cette sphère ne serait donc pas nulle, ce qui est en contradiction avec l'équation (4).
590. Fonction harmonique nulle sur une surface fermée. - — On conclut, de ce qui précède, le théorème suivant :
*S7 une fonction harmonique U est uniforme , finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans un volume V, et
prend la valeur zéro sur la surface limite S, elle est nulle dans tout le volume.
En effet, si la fonction n'était pas nulle en tous les points du volume, parmi les valeurs qu'elle prendrait dans le volume il y en aurait une G qui serait ou plus grande ou plus petite que toutes les autres. Le lieu des points pour lesquels on aurait
se composerait ou de points isolés, ou de lignes, ou de surfaces, ou de volumes. Dans le premier cas, la fonction serait maximum ou minimum en un point, ce qui est impossible. Dans les autres cas, la fonction aurait, sur une ligne, une surface ou, dans un volume, une valeur constante plus grande (ou plus petite) que toutes les valeurs voisines; ce qui est également impossible. Donc la fonction U est nulle.
Dans ce théorème, le volume considéré V a une forme quelconque : par exemple, la forme d'un tore, ou du volume compris entre une sphère et une sphère intérieure, etc.
Cas d'un volume indéfini. — Un théorème analogue a lieu pour les fonctions harmoniques à l'extérieur d'une surface fermée donnée :
Si une fonction harmonique U reste finie ainsi que ses dérivées premières et secondes à l' extérieur d'une surf ace fermée donnée 2, si de plus cette fonction prend la valeur zéro sur S et s annule à V infini, la fonction U est nulle dans tout l'espace considéré.
En effet, si la fonction U n'était pas constante dans le volume indéfini considéré, il existerait clans ce volume soit des points, soit des lignes ou des surfaces, soit des volumes où la fonction prendrait une valeur constante plus grande (ou plus petite) que les valeurs voisines. Ce qui est impossible. Donc U = o dans tout le volume.
Conséquence :
Si deux fonctions harmoniques U, et U2 finies ainsi que leurs dérivées premières et secondes dans un volume donné V
