CHAPITRE XX I\. — ATTRACTION. POTENTIEL

prennent sur la surface limite les mêmes valeurs, elles sont identiques dans l'intérieur du volume.

En effet, la différence U( — U2 est une fonction harmonique finie ainsi que ses dérivées dans le volume V et s'annulant sur la surface. D'après le théorème précédent, cette différence est nulle dans tout le volume.

Un théorème analogue a lieu pour un volume indéfini situé à l'extérieur d'une surface fermée 2, à condition que U { — U2 s'annule sur la surface S et à l'infini.

591 . Une fonction harmonique uniforme finie et déterminée ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes en tous les points de l'espace, à distance finie ou infinie, est une constante. — Imaginons une fonction harmonique U, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans tout l'espace, et prenant une valeur finie déterminée quand le point #, y, z s'éloigne indéfiniment suivant une loi quelconque. Cette fonction U( x, y, z); si elle n'est pas constante, a nécessairement un maximum et un minimum. Le maximum, par exemple, peut être atteint à l'infini; mais alors le minimum est à distance finie. Soit C la valeur minimum de U. Le lieu des points tels que U(;r, y, s) = G peut se composer de points isolés, ou de lignes, ou de surfaces, ou de volumes. Mais cela est impossible, d'après les théorèmes des nos 088 et 589; la fonction est donc une constante.

592. Détermination d'une fonction harmonique par ses valeurs sur une surface; théorème d'existence. — Nous avons vu (n°590) que si deux fonctions harmoniques dans un volume V, finies ainsi que leurs dérivées premières et secondes, prennent les mêmes valeurs sur la surface limite S, elles sont identiques. Gela revient à dire qu'il n'existe pas deux fonctions harmoniques prenant des valeurs données sur une surface fermée et remplissant à l'intérieur les conditions indiquées. Mais on est alors conduit à se demander s'il existe toujours une fonction harmonique prenant sur la surface des valeurs données à l'avance. La réponse est fournie par le théorème suivant :

/Y existe une fonction harmonique uniforme finie ainsi que

<S8 É Q U I L I B R E E T M 0 L V E M E N T I) E S MILIEUX < : <) N T I N I 8 ,

ses dérivées premières et deuxièmes dans le volume V et prenant, sur la surface S, des valeurs données à r avance se succédant d'une manière continue.

On peut se rendre compte de ce fait par des considérations physiques. En effet, regardons le volume V comme un milieu homogène et isotrope conducteur de la chaleur; maintenons les divers points de la surface S à une température constante pour chaque point, mais variant arbitrairement d'un point à l'autre. Il s'établit alors, dans l'intérieur du volume, une température stationnaire. Cette température est une fonction U(\r, y^ z) qui prend les valeurs données sur la surface et qui, comme l'a montré Fourier, est harmonique dans le volume.

Cas d'un volume indéfini. — Supposons que le volume V s'étende à l'infini et comprenne toute la partie de l'espace extérieure à des surfaces fermées données dont l'ensemble constitue la surface limite S. Il existe encore une et une seule fonction harmonique dans V, finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans V , prenant sur la surface limite S des valeurs données et s' annulant à V infini.

L'existence de cette fonction résulte des mêmes considérations physiques que pour le cas d'un volume fini.

593. Principe de Dirichlet. — Pour démontrer mathématiquement l'existence d'une fonction harmonique répondant aux conditions indiquées ci-dessus, Dirichlet emploie un raisonnement qui repose sur le principe suivant :

Soit une fonction quelconque o(x, y, z) (harmonique ou non) finie ainsi que ses dérivées premières et deuxièmes dans le volume V et prenant sur la surface S les valeurs données : soit, d'autre part, l'intégrale triple essentiellement positive

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étendue au volume. Dirichlet regarde comme évident que, parmi les fonctions cp en nombre infini remplissant les conditions indiquées, il en est une U qui rend V intégrale I minimum ; puis il fait voir que cette fonction U réalisant le minimum est harmonique, ce qui démontre le théorème. Mais Weierstrass a montré, dans une critique approfondie des principes du calcul des variations, qu'il n'est pas permis d'affirmer a priori l'existence d'une fonction U remplissant les conditions indiquées à l'inté-