CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES
les efforts principaux correspondants sont des pressions ou des tractions.
618. Ellipsoïde des efforts. — La quadrique précédente donne la direction, le sens et la grandeur des efforts autour du point M. Pour déterminer uniquement la grandeur des efforts, on peut employer une deuxième quadrique qui est toujours un ellipsoïde et qu'on appelle ellipsoïde des efforts ou ellipsoïde d'élasticité.
Considérons un élément di mené par M : soit MT le secteur représentant la tension, rapportée à l'unité de surface, qui s'exerce sur la face négative de cet élément. Cherchons le lieu de l'extrémité T de ce vecteur, quand l'élément d<j prend toutes les positions possibles autour de M. Nous allons voir que ce lieu est un ellipsoïde de centre M, ayant mêmes plans principaux que la quadrique directrice.
En effet, par rapport aux axes M#', Mj)/, Mz' menés par M parallèlement aux axes coordonnés, le point T a pour coordonnées les projections mêmes de la tension TXj Tr, Tz, données par les équations (i 2),
(T) Tx=?i, tj=?'^ T-=?'y.
Résolvons ces équations par rapport à a, [3, y : elles donnent, pour ces quantités, des expressions linéaires et homogènes en T^, Tr, Tz, de la forme
i a = A Tar+B"T)-+-B T-, (18) 1 p = B"T\c-+-A'Tr+B T-,
( T = B'TX+B Tr-f-A"T„
où A, A/, A", B, B\ B" s'expriment aisément en fonction de N(, N 2 , i\ 3 , 1 1 , 1 o , 1 3 .
Ecrivant ensuite
on a l'équation du lieu du point T : cette équation du deuxième degré en T^, Tf, Tz a pour premier membre une somme de carrés; elle représente un ellipsoïde qui est \ ellipsoïde des efforts.
Les directions des axes de cet ellipsoïde se confondent avec celles des efforts principaux, et les longueurs de ces axes sont
égales aux grandeurs des efforts principaux. En effet, prenons les directions des efforts principaux en M pour directions des axes coordonnés; les quantités T,, T2, T3 deviennent nulles, les quantités N<, N2, N3 prennent des valeurs particulières n^ n2, n3 (efforts principaux). Les équations (T) deviennent alors
Tx= ma, Tr = n2 (3, T- = n3 y ;
et l'ellipsoïde des efforts devient
ni ni n
il est rapporté à ses axes.
L'ellipsoïde des efforts relatif au point M étant tracé, si Fon prend un élément quelconque d<j passant par M, la quadrique directrice donne la direction et le sens de l'effort MT qui s'exerce sur la face négative de do- ; la grandeur de MT résulte de ce fait que le point T est sur l'ellipsoïde.
619. Réciprocité des composantes normales. — Soient du un élément passant par un point M, MN(a, (3, y) la normale à cet élément, T l'effort sur la face négative de l'élément ; soient de même de' un deuxième élément mené par le même point, MN' la normale (a', (3', y') et T' l'effort qui s'exerce sur la face négative de de'.
La projection TV, de T sur la normale à de', est égale à la projection T^ de T' sur la normale à d<r.
En effet, en appelant comme plus haut Tr, Ty, Tz les projections de T sur les axes, on a, pour la projection de T sur la direction MN' :
T^=a'Ta.+ p'Ty+T't„
ou, d'après les formules (12),
De même, on trouve
Ces expressions sont identiques, comme on le vérifie immédiatement. Donc
Les formules Y3 = Z2, Zt — X3, X2 = Yt établies au n° 615 apparaissent maintenant comme des cas particuliers de ce théorème : pour les -obtenir, il suffit de supposer que les éléments de et de' sont respectivement perpendiculaires à deux des axes coordonnés.
