CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES. l3r
à l'élément (ftg. 3o6, II), une longueur
MQ'= r •
Le lieu du point Q\ quand on fait varier a, (3, y, est une deuxième quadrique (Q;) dont l'équation est
cette quadrique est conjuguée de la précédente. L'ensemble des deux quadriques (Q) et (Q') s'appelle quadrique directrice . Les formules (12),
Tx=cp'a, Tr=Çp, T2=cp^
montrent que V effort qui s'exerce sur la face négative d'un élément da est perpendiculaire au plan diamétral conjugué de la normale à cet élément dans la quadrique directrice. En effet, la normale MN à l'élément ayant pour cosinus directeurs a, (5, y, le plan diamétral conjugué de MN a pour équation
On a donc la direction de l'effort. On obtient le sens de l'effort en regardant si la normale MN à l'élément considéré rencontre la quadrique (Q) ou sa conjuguée (Q/). Lorsque la normale MN rencontre la quadrique (Q) en un point Q, l'effort sur l'élément d<i est une pression, et l'on a
MQ
Lorsque la normale MN rencontre (Q') en un point Q', l'effort sur l'élément d<j est une traction, et l'on a
IQ'
Quant à la grandeur de T, elle résulte évidemment de ce que Ton connaît la direction et le sens de T ainsi que sa projection T„ sur la normale à da-.
D'après cela, trois cas sont possibles pour un point M :
i° La quadrique (Q) est un ellipsoïde réel de centre M; alors
l3l ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
la quadrique (Q') n'existe pas (ellipsoïde imaginaire). Les efforts sur tous les éléments cfo passant par M sont des pressions.
20 La quadrique (Q') est un ellipsoïde réel de centre M; alors la quadrique (Q) n'existe pas. Les efforts sur tous les éléments Repassant par M sont des tractions.
3° La quadrique (Q) est un hyper boloïde; alors (Q') est ¥ hyper boloïde conjugué. L'effort sur un élément d<j passant par M est une pression ou une traction suivant que la normale à cet élément rencontre (Q) ou (Q'). Les deux hyperboloïdes ont même cône asymptote : ce cône, de sommet M, a pour équation
Si l'on considère un élément di perpendiculaire à une génératrice du cône asymptote, les cosinus directeurs a, [i, y de la normale à cet élément annulent la fonction <p(a, (S, y) : on a donc
Tw= o.
L'effort qui s'exerce sur cet élément particulier d<7 n'a donc pas de composante normale à l'élément; il est situé dans le plan même de l'élément. Pour ces éléments particuliers, le point Q où la normale MN rencontre la quadrique directrice est rejeté à l'infini.
Plans principaux ; efforts principaux au point M. — Si l'élément d<j coïncide avec un des plans principaux de la quadrique directrice, sa normale MN coïncide avec un axe principal, le plan diamétral conjugué de MN coïncide avec do-, et l'effort est perpendiculaire à d<r. Donc, à l'instant t, en tout point M du système, ily a trois éléments plans sur lesquels les efforts sont normaux : ces trois plans sont les plans principaux en M, et les trois efforts correspondants sont les efforts principaux. Si l'on prenait au point M ces plans principaux pour plans coordonnés, les valeurs des coefficients N et T changeraient : l'équation (Q) ne devant contenir que des carrés, les nouvelles valeurs de T, , T2, T3 seraient nulles ; si nous appelons ns , n2, n3 les nouvelles valeurs de N, , N2, N3, les quadriques (Q) et (Q') ont pour équations
ttl X- -h 71 2 y2 -t- 71% Z2 = dl I ,
les coefficients nt, n2-> n^ étant positifs ou négatifs, suivant que
