CHAPITRE XXX. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES. \3l

Démontrer que le vecteur Q ayant pour point d'application le point x, y, z et pour projections

= zt-

est indépendant du choix des axes. Démontrer de même que le vecteur R ayant pour projections

dX, dX, dX

dx dy dz

y dx dy dz

dZ, dZ2 dZ3 * dx d*x dz

est indépendant du choix des axes. Il faut entendre par là que, si l'on prend de nouveaux axes Ox', y', z' et si l'on met les nouvelles projections du vecteur T sous la forme

T^=a'X; + P'X'24-YrX'3,

TV = a'Yi-HP'Yi-+-Y'Y;ï

a', p', y' étant les nouveaux cosinus des angles que fait la normale à di avec les nouveaux axes, les vecteurs Q' et R' formés avec les nouvelles fonctions Xi, . . ., Z'3 et les nouvelles coordonnées x', y', z' sont identiques à Q et R.

Réponse. — On peut établir ces résultats en calculant le moment résultant et la résultante générale des forces Tdv appliquées à tous les éléments d<s d'une surface fermée arbitraire S. Les vecteurs obtenus sont indépendants du choix des axes.

4. Si par un point donné d'un corps solide on fait passer trois plans rectangulaires entre eux, la somme des carrés des pressions ou des tensions supportées par ces mêmes plans sera une quantité constante égale à la somme des carrés des pressions ou tensions principales ( Cauchy, De la pression ou tension dans un corps solide, Œuvres complètes, 2e série, t. VII, p. 75).

5. Les valeurs de Tr, T , Tz données par les formules (11) du n° 616, sont entièrement semblables aux valeurs des composantes rectangulaires de la force qui solliciterait un point matériel placé en présence de plusieurs centres fixes d'attraction ou de répulsion, et très peu écarté d'une position dans laquelle il restait en équilibre au milieu des centres dont il s'agit.

Les formules que l'on obtient de cette façon, ainsi que plusieurs propositions qui s'en déduisent et qui sont analogues aux théorèmes des nos 617 et 618, sont dues à Fresnel qui les a données dans ses Recherches sur la double réfraction (Cauchy, Œuvres complètes, 2e série, t. VII, p. 79).

l38 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.