CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l

626. Lois de forces capables de tenir un fluide en équilibre. — Lorsqu'un fluide est en équilibre, les quantités p, p, X, Y, Z sont déterminées en chaque point du fluide ; ce sont donc des fonctions uniformes de x, y, z\ mais il est important de remarquer que V équilibre ri est possible que si les forces X, Y, Z remplissent une condition particulière. En effet, l'équation (2) exprime que l'expression différentielle

(4) Xdx-hYdy -+- Z dz

devient une différentielle totale dp, quand on la multiplie par la fonction p de oc, y, z. En d'autres termes, la densité p est un facteur intégrant de l'expression (4). Or, pour qu'une expression, telle que (4), admette un facteur intégrant, c'est-à-dire puisse être identifiée avec une expression de la forme <j> ofo, où tl> et cp sont fonctions de x, y, z, il faut et il suffit (n° 542) que l'on ait

(5) X(---Uy(---) + z(---) =0.

\ dy dz / \àz dx ) \dx dy J

Les forces (X, Y, Z) appliquées au fluide doivent donc remplir cette condition pour que l'équilibre soit possible.

En employant la terminologie définie dans le premier Chapitre de ce Volume (n° 541), on voit que l'équilibre d'un fluide n'est possible que si le tourbillon de la force X, Y, Z est nul ou est perpendiculaire à la force en chaque point du fluide.

La condition (5) est remplie en particulier quand le tourbillon

de la force est nul, c'est-à-dire quand la force X,Y, Z dérive

d'une fonction de forces U, car, dans ce cas, les différences telles

d*L àY ii • i • /~<i • i-

que -r ■—> ■ • • sont nulles identiquement. L< est ce qui a lieu

le plus fréquemment.

Dans le cas le plus simple qui puisse se présenter, les quantités X, Y, Z sont des fonctions uniformes données de x, y, z, indépendantes dans leur forme de la disposition qu'affecte la masse fluide ; c'est ce qui arrive lorsqu'on envisage un fluide soumis uniquement à l'action de forces extérieures, telles que la pesanteur ou l'attraction de corps fixes; pour que l'équilibre soit possible, il faut que ces fonctions données vérifient l'identité (5).

Dans d'autres cas, les quantités X, Y, Z sont, pour chaque ar-

rangement de la masse fluide, des fonctions de x, y, z\ mais ces fonctions changent avec l'arrangement de la masse : c'est ce qui arrive, par exemple, pour un fluide dont les particules s'attirent suivant la loi de Newton, ce fluide pouvant d'ailleurs être soumis à d'autres forces extérieures; il est bon de remarquer que, dans cet exemple, la force provenant de l'attraction newtonienne du fluide sur un point de masse i, pris dans son intérieur, dérive d'une fonction de forces quel que soit l'arrangement du fluide; seulement, cette fonction varie avec l'arrangement du fluide.

627. Équation caractéristique d'un fluide. — Si l'on considère un fluide déterminé, il existe, entre la densité p, la pression p et la température x d'un élément de volume du fluide, une relation caractéristique

Par exemple, pour un gaz parfait, suivant les lois de Mariotte et de Gav-Lussac, on a

p(i -+- ai)

const.,

a désignant le coefficient de dilatation du gaz, égal à ^fj, quand t est évalué en degrés centigrades.

Pour un liquide, la relation caractéristique ne contient pas p ; on sait, en effet, qu'un liquide est sensiblement incompressible; sa densité ne dépend donc pas de sa pression, mais seulement de sa température, et l'on a, dans des limites convenables de la température,

Po

k étant le coefficient de dilatation du liquide par la chaleur et p0 la densité pour t = o.

L'étude de la relation caractéristique d'un corps fait l'objet de la Thermodynamique ; pour l'emploi de cette relation dans l'équilibre et le mouvement des fluides, nous renverrons à un important article de Bjerknes clans le tome IV des Acta Mathematica.