CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. 1 4 f

valeur commune de N(, N2, N3' est donc une quantité positive p, que l'on appelle pression au point M.

Cette quantité p est une fonction uniforme des coordonnées #, y, z du point M. Sur tout élément di passant par M s'exerce un effort qui est une pression normale/? di.

D'après cela, dans un fluide en équilibre, la quadrique directrice et l'ellipsoïde des efforts sont, en chaque point, des sphères : toutes les directions, autour de chaque point, sont principales.

Si l'on prend comme unité de force le kilogramme-force et comme unité de longueur le mètre, p est la pression rapportée au mètre carré évaluée en kilogrammes : on peut dire aussi que, dans ce système, la valeur numérique de p est la hauteur en millimètres d'une colonne d'eau ayant pour base imq et pour poids p kilogrammes; cela tient à ce qu'une colonne d'eau d'une hauteur de imm, ayant pour base imq, pèse ikg.

624. Équations d'équilibre d'un fluide. — Soient, comme dans le Chapitre précédent, X, Y, Z les projections des forces, rapportées à l'unité de masse, agissant sur les éléments de volume du fluide; p la densité du fluide : les équations générales du n° 616, dans lesquelles on fait

t;=T2=T3=o. N, = N2=N3 = jd, J-o,

deviennent

/ \ àp Y dp dp

Telles sont les équations d'équilibre des fluides. Dans ces équations X, Y, Z, p et p sont des fonctions uniformes et finies de #, y, z dans toute l'étendue du fluide en équilibre. La fonction p est assujettie à être continue en tous les points du fluide, puisque ses dérivées partielles sont finies, d'après les équations (i) ; en outre, cette fonction doit rester positive ou nulle dans le fluide. La densité p est également positive, mais peut être discontinue.

Les équations d'équilibre (i) s'appliquent à tous les fluides quelque visqueux qu'ils soient : c'est seulement en Hydrodynamique que la viscosité modifie les phénomènes.

Equation unique a" équilibre. Interprétation géométrique. — Soient M un point (#, y, z) de la masse fluide et

M' (x -+- dx, y -h dy, z -f- dz)

ifo ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

un point quelconque infiniment voisin. Ajoutons les équations (i) après les avoir multipliées respectivement par dx, dy1 dz ; nous aurons, en désignant par dp la différentielle totale de p,

(2) dp = p (X dx -h Y dy -h Z dz).

Cette équation ayant lieu, quels que soient dx, dy, dz, résume les trois équations (1). Elle a une signification simple. Soit F la force, rapportée à l'unité de masse, agissant en M, l'équation (2) signifie que la différence, dp, des pressions aux points infiniment voisins M et M', est égale au produit de la densité- p au point M par la quantité

F.MM'cosF.MM', analogue à un travail. On peut dire aussi que la dérivée de la pression dans une direction donnée MM', ™vjp> est égale à la densité en M multipliée par la projection de la force F sur MM'

(3) ^=PFcosfTmM'.

Cette équation donne la condition d'équilibre indépendamment de tout système de coordonnées. On en déduit les équations d'équilibre des fluides dans un système quelconque de coordonnées : il suffit, pour cela, de traduire la condition (3) dans le système adopté.

Cas d'une fonction de forces. — Dans le cas particulier où les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction U(#, y, z), on a

Xd&+Ydy + Zd*=:dD.

et l'équation d'équilibre s'écrit

dp = p d\J.

La variation infiniment petite de la pression quand on passe de M en M', est égale à la densité multipliée par la variation infiniment petite de la fonction des forces.

625. Application du principe du travail virtuel. — Lagrange a montré, dans la Mécanique analytique, que le principe du travail virtuel permet d'établir les équations de l'Hydrostatique. Nous renverrons pour la discussion de cette démonstration à un Mémoire de M. Duhem {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IV).