CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l^J

Le long de cette surface, la pression doit être la même dans les deux fluides, pour que chaque élément de la surface de séparation subisse des pressions égales sur ses deux faces. Or, dans l'un des fluides, on a

dP = -?g'dz

et dans l'autre, en appelant pK la pression et p1 la densité,

dpx — — pi g' dz.

Pour un déplacement quelconque effectué le long de la surface

de séparation, on a

dp — dpx = o,

puisque p=pi sur cette surface. On a donc, le long de cette surface,

(Pi— p)g'dz = o, c'est-à-dire

dz = o, z = const.

La surface de séparation est donc un plan horizontal. C'est ce qui se présente, par exemple, pour la surface libre de l'eau en contact avec l'air au repos.

630. Formule barométrique. — Les équations précédentes permettent d'établir la formule de Laplace {Mécanique céleste, ie Partie, Livre X, Ghap. IV) pour la mesure des altitudes à l'aide du baromètre. Si, en un lieu déterminé, on considère l'atmosphère comme un fluide pesant en équilibre, les quantités p, p, x sont des fonctions de l'altitude z. En traitant l'air comme un gaz parfait, on a, entre ces quantités, la relation

p ( i -h ax ) k

où k est une constante. Appelons g l'intensité de la pesanteur au niveau de la mer au lieu considéré et comptons les altitudes à partir de ce niveau. Soit g' l'intensité de la pesanteur à l'altitude z : si l'on désigne par R le rayon terrestre, les points de hauteur o et z sont à des distances du centre de la Terre égales à RetR-i-^; les intensités de la pesanteur en ces deux points sont sensiblement en raison inverse des carrés des distances au centre : donc

g " (R + *)»' L'équation d'équilibre

<://?= — p g' dz

est alors, en y remplaçant p et g' par les valeurs tirées des équations précédentes,

dp kgW dz

p I -fax (R ~\- z)*1

Dans cette équation, t est une fonction inconnue de z : d'après Laplace, on donne à x une valeur constante égale à la moyenne 2 (Ti~">"~ T2) des températures aux deux stations dont on veut mesurer la différence d'altitude. La valeur du coefficient de dilatation a est un peu augmentée par la présence de la vapeur d'eau; Laplace prend a = 0.004, de sorte que