INTÉGRALES DE YOLUMES, DE SURFACES ET DE LIGNES
533. Objet du Chapitre. — Nous établirons dans ce Chapitre quelques formules d'un usage constant en Mécanique et en Physique mathématique.
I. — INTEGRALES DE VOLUMES ET DE SURFACES. FORMULE DE GREEN. FLUX. DIVERGENCE.
534. Transformation d'une intégrale de volume en une intégrale de surface. Formule de Green. — Soit une région continue de l'espace en chaque point M(j:, y, z) de laquelle sont définies trois fonctions F(x,y, z), G{jc,y, z), tl(x,y, z) uniformes et continues, ces fonctions admettant en outre des dérivées partielles du premier ordre. On peut représenter géométriquement ces trois fonctions en faisant correspondre, à chaque point M(x,y, z) de la région, le vecteur MW ayant pour origine le point M, et pour projections les valeurs F, G, H des fonctions en ce point.
La région considérée devient alors ce qu'on nomme un champ III. I
de vecteurs. Le vecteur W est déterminé d'une façon uniforme en chaque point du champ; il ne devient en aucun point du champ, ni infini, ni discontinu; sa direction est bien déterminée en chaque point, excepté aux points oh il devient nul.
Ceci posé, considérons, dans le champ, un volume V composé d'une ou plusieurs parties, limité par une surface S. Désio;nons
Fig. 278.
par d-z un élément du volume Y; par di un élément de la surface S et par a, ^j, y les cosinus des angles que la normale MN à l'élément <r/c-, dirigée vers l'extérieur du volume V, fait avec les axes coordonnés {Jig- 278).
Nous allons démontrer la formule
iX(0
dx
-Jf-
F-f- ^G-^'(H)dy,
la première intégrale s'étendant à tous les éléments du volume ^ et la seconde à tous les éléments de la surface S. Pour cela, commençons par calculer l'intégrale
que nous pourrons écrire, en remplaçant d- par dxdy dz,
Intégrons d'abord par rapport à la variable x : cherchons entre quelles limites va s'étendre l'intégration par rapport à .r. Soit, dans le plan yz {fig. 278), un élément dydz; considérons le
