CHAPITRE XXVIII. — INTEGRALES DE VOLUMES. i

prisme qui aurait cet élément pour base et dont les génératrices seraient parallèles à O^; il découpe dans le corps un élément 6?a-, en y entrant en M, : soient a,, (i, ,y, les cosinus de la normale M, Ni à cet élément, dirigée vers l'extérieur*, il découpe ensuite un élément ddj, en sortant du corps en Mo : soient a^, [^o, yo 'es cosinus de la normale Mo No à cet élément, dirigée vers l'extérieur; puis il rentre en IMs, sort en M4, .... Puisque le volume est supposé limité, le nombre des entrées et des sorties M), Mo, M3, M4, ... est pair; tous les éléments c/o-,, c/o-o, ... ont même projection dy dz sur le plan des xy.

Soient Fj, Fo, F3, F,,, ... les valeurs de la fonction F aux points M,, Mo, M3, M,, ... ; on a

^^^ = (F,-Fi) + (F4-F3)-

car l'intégrale indéfinie est F et il faut intégrer de M| à Mj, puis de M3 à M/,, .... L'intégrale triple devient donc

Or la normale à <:/t,, dirigée vers l'extérieur du volume fait un angle obtus avec O.r; son cosinus que nous avons désigné par a, est négatif, nous avons donc

dy dz = — y.] rfaj ,

car dy dz et di^^ qui i^eprésentent des aires, sont essentiellement positifs. En t/o-o, la normale extérieure fait avec Ox un angle aigu, a2 est positif et l'on a

dy dz — 7.0 d-3i ;

de même

dy dz — ^ (x-idsi,

dy dz = y.,^dn,^,

Remplaçons dans l'intégrale, il vient

= / /(-+- ai f/ji F, -^X2rfToF2-i-'aa<r/73F3-^3c.,r/T4 Fi -+-...),

c'esl-à-dire

fffj"-fj?-'

la deuxième somme étant étendue à tous les éléments d^ de la surface S.

Voici deux applications immédiates de cette formule.

Faisons d'abord F := i , nous aurons

résultat évident a prioji, car il exprime que la somme algébrique des projections de tous les éléments d'une surface fermée, sur un plan, est nulle.

Faisons ensuite F = a:, nous aurons

fll"--''=lh'^-

formule qui ramène le calcul d'un volume au calcul d'une inté

grale double.

Revenons maintenant à la démonstration de la formule (i). Nous venons de voir que l'on a

niS"-!!:-^-

un calcul analogue donne

Ajoutant membre à membre ces formules, on obtient la formule (i).

53o. Interprétation géométrique. Flux. Divergence. — Considérons, dans le champ de vecteurs, un élément {/Ig- 278) superficiel c/o- situé au point M.[x^y, z) et menons à cet élément la normale MN dans un sens déterminé; désignons par W^ la projection sur la normale MN du vecteur MW de projections F, G, H correspondant au point M. On appelle Jliix élémentaire à