CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE
voisinage d'une position d'équilibre ; mais il fit lui-même des hypothèses arbitraires, en admettant que, dans ces petits mouvements, les pressions peuvent être déterminées d'après les règles de l'hydrostatique : néanmoins les conditions qu'il trouva pour la stabilité sont exactes. Les hypothèses faites par Duhamel furent critiquées par Clebsch (*), qui fit voir que certains termes négligés par Duhamel étaient de même ordre de grandeur que les termes conservés : il ne donna d'ailleurs pas, sous une forme simple, les conditions nécessaires et suffisantes de l'équilibre.
La première théorie rigoureuse de la stabilité des corps flottants a été donnée par M. Guyou ( -), suivant une idée émise par Bravais dans sa thèse soutenue à Lyon en iS'i-j. Cette théorie, fondée sur le théorème de Lejeune-Dirichlet (IP Volume, Chap. XXIV), est appuyée de démonstrations géométriques très simples et très élégantes que nous reproduisons plus loin. M. Duhem (■^) a fait à cette théorie une objection qu'il a ensuite reconnue mal fondée ('*).
On trouvera dans le premier Mémoire de M. Duhem un historique de la question plus détaillé que nous ne pouvons le donner ici, suivi d'une solution analytique. Pour les travaux anglais nous renverrons au Treatise on hydrostatics de M. Greenhill (1894).
Une question du même genre, mais plus complexe encore, a fait l'objet de quelques travaux récents : c'est l'équilibre d'un navire a^vec un chargement liquide. Cette question a été étudiée par M. Guyou {loc. cit.), par JM. Duhem dans divers Mémoires dont on trouvera une énumération détaillée dans le Tome CXXIX des Comptes rendus (p. 879; 1899), P^'^ ^^- Greenhill (loc. cit., p. I ^4) et par M. Appell ( Comptes rendus, 1 6 et 23 octobre 1899 ; Journal de l'École Polytechnique, 1900).
(') Clebsch, L'eber das Gleichgewicht sclnvimmender Korper {Journcd de C relie, t. 57, 1860).
( ^) Guyou, Théorie nouvelle de la stabilité de l'équilibre des corps flottants {Revue maritime, mars 1879) et Théorie du Navire ( Berger-Levrault, i'" édition, 1S87; 2* édition, 1894).
(') Duhem, Sur la stabilité de l'équilibre des corps flottants {Journcd de Mathématiques, b" série, t. I; 189.5).
(*) Duhem {Ibid., 5« série, t. II; 1896).
igo ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
649. Conditions nécessaires à l'équilibre d'un corps flottant. — Un solide pesant plongé dans un liquide en repos est soumis : I" à son poids P appliqué en son centre de gravité G; 2° à la poussée R égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre C du volume immergé (/?,i,'". 3i5).
Dans cet énoncé, comme dans tout ce qui suit, nous appelons centre d'un volume ou centre d'une surface le centre de gravité du volume ou de la surface regardés comme homogènes.
Pour qu'il j ait équilibre, il faut et il suffit que ces deux forces soient égales et directement opposées. Donc : i" la droite GC doit être verticale ; 1° on doit avoir
en appelant w le poids de l'unité de volume du liquide et V le volume immergé.
60O. Définitions. Flotteurs. — Nous appellerons flotteur un solide pesant fermé de toutes parts et dont le poids total est inférieur au ])oids d'un égal volume d'eau. 11 peut arriver que les flotteurs soient des solides creux ouverts à leur partie supérieure, c'est le cas des navires; mais lorsque l'on convient de n'envisager que les inclinaisons telles que le liquide ne peut pas embarquer, on peut évidemment les supposer clos.
Axes d'orientation. -- Pour préciser la manirre dont le flotteur est orienté dans l'espace, prenons un point du flotteur, son centre de gravité G par exemple {/ig. 3i5), et menons par ce point
CHAPITRK XXXI. — HYDROSTATIQUK. IQI
des demi-droites telles que GA, GB, . . . dans toutes les directions : nous appellerons ces demi-droites axes fV orienta don. Nous dirons alors que le flotteur est orienté suivant un de ces axes, GA par exemple, quand cet axe GA est vertical et dirigé vers le bas. Pour le problème qui nous occupe, toutes les positions du flotteur obtenues en le faisant tourner ensuite autour de la verticale GA doivent être regardées comme équivalentes.
t Lottaison. — On appelle plan de flottaison un plan FL qui détache un volume V, tel que le poids d'un volume V de liquide soit égal au poids total P du flotteur,
P -raV, V= -.
La section du flotteur par un plan de flottaison est une aire plane qu'on appelle flottaison . A chaque axe d'orientation, tel que GA, correspond un plan de flottaison et un seul. En effet, après avoir orienté le flotteur suivant GA {fig. 3i5), faisons-le descendre progressivement dans le liquide en repos : il existera une position et une seule où le volume immergé sera égal à V : la surface libre du liquide donne alors le plan de flottaison cherché : ce plan est perpendiculaire à l'axe GA. La ligne limitant, sur la surface du flotteur, la partie mouillée est le contour de la flottaison correspondante.
Carène. — Le volume détaché par la flottaison est appelé carène. Si l'on considère toutes les flottaisons détachant dans un flotteur donné des carènes de même volume V, ces flottaisons sont dites isocarènes.
Centre de carène. — Le centre de volume d'une carène se nomme centre de carène.
Surface des jlottaisons isocarènes ou surface {¥). ■— Étant donné un flotteur, considérons l'enveloppe des plans de flottaison isocarènes : cette enveloppe est une surface fermée (F) que chaque plan de flottaison touche en un point et qu'on appelle surface de flottaison. Celle surface affecte, en général, des formes compliquées; mais, dans tous les cas, on peut lui mener deux plans tangents, et seulement deux, parallèles à un plan donné. En effet, abaissons du centre de gravité G une perpendiculaire sur la direction du plan donné, et prenons sur cette perpendiculaire deux
ig-î EQUILIBRE ET MOI VEMENT DES JII L I E C X CONTINUS.
demi-cli'oites GAet GA' dirigées en sens contraires. A chacun des axes d'orientation GA et GA' répond un plan de flottaison, et un seul, qui est perpendiculaire à l'axe correspondant. On a donc bien deux flottaisons isocarènes parallèles, donnant deux plans tangents à la surface (F). Mais il ne faudrait pas conclure de cette propriété que la surface de flottaison prise dans son ensemble est convexe, pas plus qu'on ne pourrait affirmer qu'une courbe plane fermée à laquelle on peut mener deux, et seulement deux, tangentes parallèles à une direction donnée est convexe; la développée de l'ellipse en est une preuve. Dans le voisinage d'un de ses points, la surface (F) peut, suivant les cas, être dun même côté du plan tangent ou traverser ce plan.
L'indicatrice des courbures en un point de (F) est donc tantôt une ellipse et tantôt une hyperbole.
Surface des centres de carène ou surface (G). — A chaque flottaison isocarène correspond un centre de carène; le lieu géométrique de ces centres est une surface fermée appelée surface des centres de carène ou, par abréviation, surface (C). Gette surface est convexe en chacun de ses points : l'indicatrice des courbures en chaque point est une ellipse.
Les deux surfaces (F) et (C) sont définies dès qu'on connaît le volume Y de la carène et la surface limitant le flotteur.
6oL Théorèmes de Dupin. — Premier théorème : Le point de conlacl de chaque plan de Jlottaison FL avec la surfaceenveloppe (F) est au centre de la Jlottaison correspondante.
Pour le démontrer, nous nous appuierons sur le théorème de Géométrie suivant :
Si l'on considère un jdan tangent à une surface, le point de conlacl se trouve sur la droite d' intersection de ce plan avec un plan tangent quelconcjue infiniment voisin.
Soient {Jig. iiô) deux flottaisons infiniment voisines FL et F'L' dont les plans font entre eux un angle 0 ; prenons un système d'axes rectangulaires formé par l'intersection OX des deux plans, la perpendiculaire OY dans le plan FL, enfin la perpendiculaire OZ à ce j)lan vers le bas. Les deux flottaisons étant iso-
i:iI.\I'ITKK XXXI. — HYDROSTATIQUE. I9J
carèneS; les volumes des onglets LOXL' et FOXB'' sont égaux. Soient ch un élément du plan des XY placé en e, X et \ ses coor-
données et soit Z la cote correspondante ee' du plan F'L'; on y»
évidemment
Z = Y taiigO,
Pour l'onglet de gauche FXF', Z est positif et le volume de cet onçlet est
l'intégrale étant étendue aux éléments d^ placés à gauche de OX; pour l'onglet de droite LXL', Z est négatif et le volume de cet onglet est
l'intégrale étant étendue aux éléments ch à droite de OX,
Ces deux intégrales étant égales, leur différence est nulle, et Ton a
fl
z ch = o.
cette dernière intégrale étant étendue à toute la flottaison FL. Remplaçant Z par YtangB et supprimant le facteur constant tang 9,, on a finalement
ffYch = o,
l'intégrale étant étendue à toute la flottaison. Mais cette équation signifie que le centre de la flottaison FL est sur OX, c'est-à-dire sur l'intersection de cette flottaison avec une flottaison quelconque infiniment voisine.
Le théorème est donc démontré.
Dans ce qui suit, nous désignerons par O le centre de la flottaison FL, point de contact de la flottaison avec la surface (F). La droite OX, intersection des deux plans infiniment voisins FI^ et F'L', est Vaxe d'inclinaison dans le passage de la flottaison FL à F'L'. Voici la raison de cette dénomination :
On peut se représenter physiquement la fig-, 3i6 de la façon suivante : Supposons d'abord le flotteur immergé dans l'eau jusqu'à la flottaison FL, puis écartons-le infiniment peu de cette position, en Tinclinant, de façon que le volume immergé\ reste le même ; le plan de la surface libre prendra, par rapport au corps, une nouvelle position F'L'. Pour obtenir la nouvelle position du corps, il suffirait d'incliner la figure de façon que le plan F'I^' devînt horizontal.
Dans ces deux positions succcessives du corps, l'axe OX reste horizontal; on peut donc imaginer que l'on passe de la première position à la seconde en faisant tourner le corps d'un angle infiniment petit Q autour de l'axe OX. A chaque position du corps infiniment voisine de la première, sous la condition que le volume immergé V reste le même, correspond ainsi un axe d'inclinaison OX passant par le centre O de la flottaison FL.
Pratiquement, on peut incliner un flotteur, un navire par exemple, de façon à lui faire prendre des positions dans lesquelles la carène conserve toujours le même volume. Il suffit pour cela de modifier la distribution intérieure du chargement; le navire prend alors diverses positions d'équilibre qu'on peut faire varier d'une manière continue, mais comme son poids n'a pas changé, le volume immergé est toujours le même.
652. Deuxième théorème. — Le plan tangent en un point G de la surface des centres de carène est parallèle au plan de flottaison correspondant FL.
Soient G le centre de la carène détachée par FL, G' le centre de
