CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. 1Ç

la carène détachée par F'L' {Jig. 3i6). Ces deux carènes ont une partie commune située au-dessous de F'XL dont nous appellerons le centre A et le volume a. Les deux onglets LXL', FXF' sont équivalents; nous appellerons leurs centres respectifs B et B' et leur volume commun b.

Cela posé, le point C est le centre de l'ensemble des volumes a et 0 ayant leurs centres respectifs en A et B; on a donc

CA h CB ~ a'

De même, C'est le centre des volumes a et b ayant leurs centres

en A et B'; d'où

Les points C et C divisant AB et AB' dans le même rapport, la droite CC est parallèle à BB' et dirigée dans le même sens que BB'.

Si la flottaison F'L' se rapproche indéfiniment de FL, les points B et B' qui sont compris entre les deux flottaisons tendent à se placer dans le plan FL; le point C tend vers G et la droite CC parallèle à BB' tend vers une position limite parallèle au plan FL.

Cette position limite est tangente à la surface des centres de carène en C : ainsi les tangentes à la surface (C) en un point (î sont parallèles au plan de flottaison correspondant FL. Ce qui démontre le théorème.

Remarque. — La surface (C) est convexe en chacun de ses points : cela veut dire que, dans le voisinage d'un de ses points C, elle est d'un même côté du plan tangent en C. En effet, le plan tangent en C, CH {/ig'. 3i6), est parallèle à FL; la droite BB' va d'un point B situé au-dessous de FL à un point B' situé au-dessus. La droite CC de même sens que BB' est donc au-dessus du plan tangent CH, et le point C est toujours au-dessus de ce plan tangent, quelle que soit la flottaison F'L' voisine de FL. L'indicatrice des courbures en C est donc toujours une ellipse.

Co3. Définition des métacentres. — Considérons comme précédemment la flottaison dans deux positions infiniment voisines, l'axe d'inclinaison pour passer de la première à la deuxième étant

OX i^fig' 3i6). Menons les normales CN et C iV' à la surface (C) aux deux centres de carène C et C correspondant à ces deux positions. Traçons la perpendiculaire commune ij.|ji.' à ces deux normales; le point \j. est le métacentre correspondant à l'axe d'inclinaison OX.

On peut remarquer que [xuJ est parallèle à OX, car les deux normales CN et C'N' sont respectivement perpendiculaires aux deux plans de flottaison FL et F'L'.

6o4. Troisième théorème. — Le métacentre 'j. est situé en général entre les deux centres de courbure principaux M et m de la surface (G) relatifs au point C : il coïncide avec l'un d'eux M ou m cjuand Vaxe d' inclinaison est parallèle à une des directions principales de la surface (G) au point G.

Ge théorème exprime une propriété générale des surfaces courbes. La surface (G) étant convexe au point G, prenons ce point comme origine d'un système d'axes (fi g- ^i^ ), comme axe

des z la normale GN du côté où se trouve la surface, comme axes des x et des^ les directions principales en G.

Appelons, suivant l'usage, />, q^ /■, 5, t les dérivées partielles premières et deuxièmes du z d'un point de la surface par rapport à .r et j^ et affectons de l'indice o les valeurs de ces quantités à l'origine G.

D'après le choix des axes, /jJq, ^q? -^o sont nuls, et l'on a, en