CHAPITRE XXXI

Nous représentons encore dans \di Jig. 3 19 la projection de la figure de l'espace sur le plan mené par GN perpendiculairement à

Fig. 3ig.

l'axe d'inclinaison. Le point C se projette en c' et la normale C'N' en c' n' ; le métacentre ^j. est à l'intersection de CN et c'n'. Dans celte nouvelle position, le corps est sollicité par son poids P appliqué en G et par la poussée R égale et opposée à P appliquée en G' : ces deux forces sont d'ailleurs perpendiculaires à F'L'. On voit dès lors que, si, comme dans la figure, G était au-dessus de [x, le couple P, R tendrait à écarter le corps encore davantage de sa position d'équilibre. Pour que l'équilibre soit stable, il faut donc que G soit au-dessous de [jl; et comme ce fait doit avoir lieu pour toutes les directions de Vaxe d'inclinaison, il faut que G soit au-dessous du petit métacentre ni. On a ainsi une condition nécessaire de la stabilité. Mais notre raisonnement ne permet pas de voir si elle est suffisante, car il faut, pour cela, voir ce qui se passe cfuand on écarte le système entier, corps et liquide, de la position d'équilibre d'une façon quelconque.

Nous montrons plus loin, d'après M. Guyou, comme application du théorème de Dirichlet démontré dans le deuxième Volume, que la condition trouvée comme nécessaire est suffisante pour la stabilité.

658. stabilité de l'équilibre. Méthode. — Nous avons vu (Ghap. XXIV) que lorsqu'un système pesant quelconque est en équilibre, la condition nécessaire et suffisante de la stabilité de l'équilibre est que le centre de gravité du système soit, dans la

posilion considérée, le plus bas possible, c'est-à-dire plus bas que dans toutes les positions infiniment voisines.

On peut ramener Télude des positions d'équilibre d'un flotteur à l'étude des positions d'équilibre d'un corps pesant limité par une surface courbe par laquelle il est assujetti à rester en contact avec un plan horizontal fixe.

Pour cela, on établit que r orientation du flotteur dans les positions d^ équilibre et la nature de ces positions [stabilité ou instabilité) sont les mêmes que si le flotteur reposait sur un plan horizontal fixe par la surface des centres de carène.

C'est ce que nous allons montrer, en établissant d'abord les conditions d'équilibre d'un corps pesant sur un plan horizontal.

6o9. Équilibre d'un solide pesant sur un plan horizontal. — Soit un solide pesant invariablement lié à une surface ( C), convexe en tous ses points, et posée sur un plan horizontal fixe (/o. 3,0, 1 et II).

Soient G le centre de gravité du corps, GH sa dislance au plan fixe : les positions d'équilibre stable du corps s'obtiennent en déterminant les positions dans lesquelles GH est minimum ; dans

Fis;. 320.

cet énoncé, le segment GH doit être regardé 'comme positif ou comme négatif suivant que le point G est au-dessus ou au-dessous du plan horizontal; le centre de gravité peut passer au-dessous du plan s'il est à l'extérieur de la surface (C) comme dans \di Jig. 820, n. Si, dans une certaine position, GH est un maximum, c'est encore une position d'équilibre, mais instable.

Soit C le point de contact du corps avec le plan horizontal; nous allons démontrer que les conditions nécessaires et suffi-