CHAPITRE \X\I. — HYDROSTATIQUE. 2o

santés pour qu'une position du corps soil une position d'équilibre stable sont les suivantes :

1° Le centre de s^ravité doit se trouver sur la normale en C {fig. 32 i).

2° Il doit être placé au-dessous des deux centres de courbure principaux de la surface relatifs au point C.

La première condition est évidente, car, pour qu'il y ail équilibre, il faut que le poids du corps appliqué en G soit détruit par la réaction du plan appliquée en C : le poids doit donc passer par C; la droite GC doit être normale au plan.

Cette première condition étant remplie, pour que l'équilibre soit stable, il faut et il suffit que, dans la position considérée du corps, la distance du point G au plan horizontal fixe soit plus petite que dans toute position infiniment voisine. Au lieu de laisser le plan langent fixe et de déplacer le corps, il est plus commode de regarder le corps comme fixe dans la position d'équilibre et de déplacer le plan tangent. Il faut et il suffit, pour la stabilité, que la distance GC du point G au plan langent en C

Fi g. 021.

soit plus petite que la distance GH du point G aux plans tangents en des points C infininiment voisins de C. Prenons comme origine le point C, comme plan des xy le plan tangent en C, comme axes des x et des y les directions principales de la surface en C, comme axe des :; la normale Cs du côté où se trouve la surface. Soient x^ y, z les coordonnées d'un point C de la surface, voisin de C; en employant les mêmes notations que plus haut ( a° 6o4), on a

z = -i^r^x^-— toj^-)-^...;

les ordonnées des deux centres de courbure principaux M et m

(grand et petit metacentre ) sont - et - •

Cela posé, appelons ^ le ^ du centre de gravité G qui, par hypothèse, est sur C:: ; l'équation du plan tangent en C est

la distance GH du centre de gravité à ce plan est

GH — (^ — .3 — />x -H ^ j')(i-T-/>-— ^-; -

où nous devons prendre le signe -1- dans le deuxième membre, d'après la convention faite plus haut pour le signe de GH. En effet, comme au point C, x^y^ z, p, q sont nuls ; au point C', voisin de C, ces quantités sont très petites et l'expression de GH a le même signe que î^; elle est donc, d'après le choix des axes, positive ou négative suivant que G est, par rapport au plan tangent, du même côté que la surface ou de l'autre côté.

11 faut maintenant exprimer que cette expression de GH est minimum pour x = y = o. D'après le développement de z, on a

p = r-o.r -f-. . ., g=ztoy—

et en portant dans GH :