CHAPITRE XXXI. - HYDROSTATIQUE

en appelant, comme plus haut, h la hauteur du centre de gravité au temps t et Gp le travail des résistances passives.

Considérons le lac d'oscillation initial déterminé par la podaire et la sphère liquide dont le rayon Aq est donné par

PAo-= -Y mc^^ P/.

Pour que le corps jouisse chavirer, il faut que l'énergie imprimée - \ /7î('5 soit telle que ce lac comprenne une deuxième position d'équilibre. Or, si l'on suppose que la sphère liquide, ayant d'abord pour rayon la normale d'équilibre /, gonfle progressivement, le lac qu'elle détermine autour de cette normale ne contiendra pas d'autre normale tant qu'il n'aura pas été uni par l'ouverture d'un isthme à un lac voisin. Par suite, si l'on désigne par /' la longueur de la normale mixte allant de G à cet isthme, il suffit, pour qu'il n'y ait pas danger de .chavirement, que le rayon Aq de la sphère liquide déterminant le lac d'oscillation initial soit moindre que /', c'est-à-dire que l'on ait

D'après cela on peut dire que P(/" — /) représente la mesure de la stabilité de la position d'équilibre considérée correspondant à la normale minimum /(Givou, loc. cit.. p. ia-aS ».

660. Corps flottants. — En suivant la méthode de M. Gujou, nous allons considérer un liquide contenu dans un vase fixe et chercher dans quelles positions du système le centre de gravité de l'ensemble du flotteur et du liquide sera à une hauteur minima. Les conditions auxquelles nous parviendrons étant indépendantes de la forme et de la grandeur du vase, seront applicables aux navires flottant sur de grands bassins. Nous reprendrons le problème à son origine pour le traiter entièrement à ce nouveau point de vue, c'est-à-dire sans faire appel aux résultats que nous a fournis l'application du principe d'Archimède.

Première condition : La surface libre du liquide doit être horizontale. — Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi; quelle que soit la position du JJotteur, on pourra toujours imaginer un plan horizontal coupant les arêtes des vagues de telle façon que le volume du liquide situé au-dessus de lui soit égal

à celui des vides laissés au-dessous ; alors, si, sans déranger le flotteur, on versait progressivement les niasses liquides situées audessus du plan dans les creux situés au-dessous, on rendrait la surface libre horizontale et l'on abaisserait d'une manière continue le centre de gravité du système. Ce point ne serait donc pas à une hauteur minima.

Deuxième condition : Le poids du liquide déplacé doit être égal au poids du flotteur. — Pour démontrer cette proposition, nous ferons voir que, quelle que soit l'orientation du flotteur dans l'espace, si on le descend parallèlement à lui-même dans le liquide à surface libre horizontale, le centre de gravité du système descend tant que le poids du liquide déplacé est moindre que celui du flotteur, pour s'élever ensuite à partir de l'instant où ces deux poids sont dé venus égaux.

Il est évident que, tant que le flotteur descend en restant audessus de la surface libre, le centre de gravité du système descend; mais lorsque le flotteur commence à plonger, le niveau du liquide s'élève, et le centre de gravité du liquide monte tandis que celui du flotteur descend. Il faut alors analyser le phénomène de plus près pour voir comment se comporte le centre de gravité du système.

Appelons, comme plus haut. Pie poids du flotteur, V le volume immergé, P' le poids du liquide et to le poids de l'unité de volume du liquide. INous allons montrer que si l'on enfonce le flotteur verticalement d'une quantité infiniment petite //, le centre de gravité du liquide remonte de la quantité

Pour cela, nous supposerons d'abord que le flotteur est un cvlindre droit, à arêtes verticales : deux cas sont à distinguer suivant que le cylindre est partiellement ou totalement plongé. Prenons ( /fo-. 3.22) \\\\ cylindre a|jYO partiellement plongé : soit /la longueur îa de la partie immergée, n la section droite; le volume immergé v est li. Quand on enfonce le cylindre de A, la base a[j prend la position a'^', l'élément liquide a |3a'j^' est chassé et le niveau du liquide s'élève infiniment peu. Prenons un plan des xy horizontal, un axe O; vertical ascendant et appelons X! le z du centre