CHAPITRE XXXI

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de gravité du liquide quand le cylindre est dans la première position a[3vo. Décomposons le liquide en éléments de volume de poids p et d'ordonnées ;, et appelons en particulier/), et ;;, le poids et

Fi<;. 322.

l'ordonnée de l'élément placé en a[3a'(î'. Le théorème des moments

donne

Une fois le cylindre enfoncé jusqu'en a'^i', la disposition du liquide est la même que si le liquide qui occupait primitivement l'élément a^a'jB' était supprimé et versé sur la surface libre où son ordonnée deviendrait c, -j- /, tous les autres éléments de poids p et d'ordonnées z restant dans les mêmes positions. Soit J^'-f-S^' la nouvelle ordonnée du centre de gravité du liquide; on a

d'où, en retranchant et remarquant que p^^ poids de l'élément

a|îa'P', est égal à mliT,

p,I , raa/ , ^t"

la formule est ainsi démontrée pour ce cas.

On l'établit de même pour le cas d'un cylindre entièrement immergé abcd qu'on enfonce de h, de façon à l'amener de abcd en a' b^ c' cl' [fig. 32a~). Si, conservant les notations précédentes, on appelle / la longueur totale du cylindre, le volume immergé est ^> = t/ : dans la position abcd du cylindre, le z du centre de gravité du liquide est encore donné par la formule (3) où />, et Zi se rapportent à l'élément aba' b' . Une fois le cylindre enfoncé, ^la

•2l4 tOtlLIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

disposilion du liquide est la même que si l'élément liquide aba'h était supprimé et transporté en cdd d! où son ordonnée deviendrait :?! -r ^f tous les autres éléments restant dans les mêmes positions. La nouvelle ordonnée du centre de gravité du liquide est donc encore donnée par la formule (4), d'où résulte la même valeur

(5) pour tîQ .

Il est maintenant facile d'établir le même résultat pour un flotteur de forme quelconque que l'on enfonce verticalement d'un mouvement de translation d'une quantité infiniment petite h : on \)Qw\, toujours décomposer ce flotteur en cylindres élémentaires verticaux de sections infiniment petites (//^''. 822) : appelons V\^ t'2, • ••, t'« les volumes des parties immergées de ces cjlindres. Au lieu d'enfoncer le flotteur tout d'une pièce de h pour voir l'efTet produit sur le centre de gravité du liquide, on peut enfoncer successivement de h tous les cjlindres élémentaires. Mais, d'après co qui précède, en enfonçant le premier cylindre, on fait monter le

centre de gravité du liquide de 1i -r^', en enfonçant le deuxième, on le fait monter de h -pr^ • • • • Quand tous les cylindres sont enfoncés, le centre de gravité du liquide est monté de

V désignant le volume immergé : c'est ce (jue nous voulions établir.

Voyons enfin quelle est la variation du z du centre de gravité de tout le système quand on enfonce le flotteur d'une quantité infiniment petite 11. Eu désignant par Z le ^ du centre de gravité de tout le système, par Ç et ^' les z des centres de gravité du flotteur et du liquide, on a

(6) . {V -- P'jZ= I^;-i- V'V..

Si l'on enfonce le flotteur de A, on a

Donc, en différentiant la relation (6),

(F -t- V')ZZ -, h(m\ -F;, où V est le volume immergé du flotteur.