II- {a H- 3 6) h- ^/ir(n -h ib) 2h{a-i-9.b)-hbc{a-^b

(Bouii, Mécanique, IIP fasc, p. 292.)

4. Etant donnée une aire plane de forme et de grandeur déterminées, à laquelle on fait occuper diverses positions sur une paroi plane immergée dans un liquide pesant, démontrer que le centre de pression sur celle aire est, dans chaque position, le pôle de la droite d'intersection D du plan de charge et du plan de l'aire par rapport à une certaine ellipse imaginaire E attachée à l'aire : cette conique

a pour centre le eentre de gravité G de l'aire et pour axes les axes principaux d'inertie de Taire par rapport à G; soient G^ et Çty ces axes, l'ellipse E a une équation de la forme

fE)

On peut dire aussi que le centre de pi-ession est le sjmétrique par rapport à G du pùle de D par rapport à l'ellipse réelle

conjuguée de la précédente. Celte propriété a déjà été indiquée à propos des centres de percussion d'une aire plane {Exercices sur le Chapitre X, exercice 32 ).

5. Pressions sur un vase sphérigue. — Soit un vase sphérique, dont le rayon est o",!, entièrement rempli d'eau à son maximum de densité; le vase est, à sa partie supérieure, percé d'une ouverture infiniment petite qui fait communiquer le liquide avec l'atmosphère : la surface libre de l'eau est alors le plan S„ tangent à la sphère au point le plus haut.

Calculer en kilogrammes la résultante des pressions : T" Sur rhémisphèrc inférieur; , 2° Sur l'hémisphère supérieur; 3° Sur la sphère entière.

6. Deux liquides homogènes, de densités p et pj et de volumes V et V,, sont superposés dans un vase ajant la forme d'un cylindre de révolution à génératrices verticales. Le liquide supérieur p est simplement pesant; le liquide inférieur p, est pesant, mais, en outre, ses éléments sont attirés par le centre O du fond du vase proportionnellement aux masses et aux distances, l'attraction du point O sur l'unité de masse à l'unité de distance étant a. Déterminer la figure d'équilibre et la loi des pressions.

ttéponse. — Prenons comme origine O, comme axe 0-: une verticale ascenflante :

Liquide supérieur. — Surface libre ;; = C; pression P = Pa~^ 9§ {^~~ ^)-' p^ désignant la pression atmosphérique. La constante C est déterminée par la condition que le volume total est V -f- Vj.

Liquide inférieur. — On a, en appelant /?, la pression,

dp^ ^^ — çi^g dz — a'yX dx -.- y dy -h z dz), Pt^ C— pig-s — |-a(.r=-i j-'-f-s'),

C désignant une constante; les surfaces de niveau sont des sphères concentriques.

Sur/ace de séparation. — Sur cette surface, on n p — Pi :

Pa~ ?giC--z) ^ C— pig-r — {a (x=-i- >---{- x;=);

c'est une sphère dont le centre est sur Oz.

On déterminera C en écrivant que le volume détaché par celte sphère dans le cylindre est V,.