CHAPITRE XXXH. — DÉFORMATFOX d'uN MILIEU CONTINT

OU en développant

dx \ ây dz dz dy ) dy \ dz dx àx dz )

^ àxi /dyi dzi dy^ dzj àz \ âx dy dy dx

A Tinstant ^, ce déterminant est égal à -f- i , car, à cet instant, ^4 , ;', , 2, sont respectivement égaux à x, y, z. Quand ^, varie, ce déterminant d'abord positif change de valeur. Nous allons trouver une expression remarquable de ce déterminant qui nous montrera qu'il reste toujours positif.

Soit, dans le milieu primitif, une surface fermée S limitant un volume V : à l'instant <, les points du milieu situés primitivement sur S sont sur la surface transformée S, ; aux points intérieurs à S correspondent des points intérieurs à S, et réciproquement. La masse de matière qui remplit la surface S, est donc la même que celle qui remplit S, et l'on a

( ^) I I I pidxi dyi dzi— 1 1 p dx dy dz = o,

la première intégrale étant étendue au volume V, limité par S, et la seconde au volume V limité par S. Cela résulte immédiatement de ce qu'un élément de volume du premier milieu est dxdvdz et la masse de cet élément pdxdydz; de même p, dx^ dy, dz, est la masse d'un élément de volume du second milieu.

D'après les formules classiques du changement de variable dans une intégrale triple, nous allons dans la première des intégrables (5) introduire les nouvelles variables x, j, s liées à x,, y,, s, par les formules (i), où t, a une valeur numérique donnée. On sait que pour obtenir la nouvelle intégrale, il faut remplacer l'élément différentiel

dxi dyi dzi

pour le nouvel élément différentiel

D dx dy dz

où D désigne le déterminant fonctionnel (4) des variables .r,,jKo-i

par rapport aux variables x,y, z. Quant aux nouvelles limites d'intégration, elles résultent de ce fait que, pour que le point X\, y\iZ\ décrive une fois, et une seule fois, le volume V,, il faut et il suffît que le point ^, y, z décrive le volume V : le nouveau volume d'intégration est donc V. D'après cela l'intégrale

I f ?i dxjdyi dz-i

devient, après le changement de variable?.

f f f piDdxdydz.

L'équation (5) peut alors s'écrire, si l'on remarque qu'après la transformation les deux intégrales sont étendues aux mêmes limites,

( pi D — p ) dx dy dz = o.

Le volume V est un volume quelconque pris dans le milieu initial êV. Donc l'intégrale que nous venons d'obtenir doit être nulle quel que soit le volume V auquel elle est étendue dans le milieu initial : il faut évidemment pour cela que l'élément différentiel soit nul. On a donc

(6) pi D — p = o:

c'est là \ équation de continuité.

Le déterminant D, fonction àex, y, z, varie avec /, , car la densité 0| au point P, varie avec l'instant considéré t^. Pour /, =;= t, P, se confond avec P, p, i= p et le déterminant est égal à i , comme nous l'avons déjà vu. Quand t^ croit, ce déterminant reste positif, car la densité o, est une quantité positive de même que p.

Dans le cas particulier où la matière dont on étudie la déformation est un liquide incompressible à température constante, on a constamment

Si l'on introduit les projections u, V, w du vecteur PP, par