CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION d'uN MILIEU CONTIXU
les formules
a-, = 37 H- u, 7i = 7-T-v, zi^ z -]--w
le déterminant D s'écrit
du du au
dx dy dz
àv àv &v
dx ày dz
dx à V àz
Remarque. — Sans s'appuyer sur les formules du changement de variables dans une intégrale triple, on peut obtenir réqualioii de continuité (6) en exprimant qu'un élément de volume infiniment petit entourant le point P conserve la même masse après la transformation : pour faire le calcul, on prendra en P un parallélépipède rectangle construit sur trois segments infiniment petits issus de P parallèles aux axes et ayant pour longueurs respectives dx, dy, dz, et l'on exprimera que la masse de ce parallélépipède reste invariable dans la transformation. C'est du reste la méthode même qui donne les formules du changement de variables dans une intégrale triple. ( FojKe^ Bertrand, Calcul intégral, p. 4i9-)
665. Dilatation cubique en un point. — Soit un élément de volume infiniment petit âfx entourant le point P: cet élément se transforme en un élément d-z^ entourant P, : sa masse restant inaltérée, on a
Pj dzx = p dx,
dix — di ^ di pi
Mais le premier rapport est ce qu'on appelle dilatation cubique du volume d-:, ou encore dilatation cubique au point P. Cette dilatation a donc pour valeur
Pi
D étant le déterminant (4).
234 ÉQriLIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
666. Déformation. Déplacement. — Imaginons un système matériel continu dont les éléments passent d'une manière continue dune région de l'espace <R à une région cTl). On dit que le système a subi une déformation quand on ne peut pas, en le transportant tout d'une pièce, à la façon d'un corps rigide, l'amener de l'état cU à l'étal c'R.). Dans le cas très particulier où l'on pourrait amener le système de l'état A à l'état c'R.i par un transport d'ensemble, on dit qu'il a subi un déplacement. Ainsi la déformation est un changement de forme, le déplacement un simple changement de position. Deux déformations d'un même système continu sont regardées comme identiques, quand on peut passer de l'une à l'autre par un déplacement.
Nous allons montrer qu'une déformation d'un système continu est caractérisée par six fonctions.
Nous définirons ces fonctions, comme l'ont fait MM. Cosseral dans leur excellent Mémoire des Annales de la Faculté de Toulouse et dans une Note à la Cinématicjue de M. Kœnigs, en 'partant de la considération de l'élément linéaire. Les théorèmes sur la déformation d'un milieu continu sont, de cette façon, rattachés aux théorèmes classiques sur la déformation des surfaces et l'élude des ds- à plusieurs variables (voir les Leçons sur la théorie des surfaces de M. Darboux, t. II et 111).
667. Les six fonctions associées à une déformation. — Soient, comme plus haut, .r, j^, -• les coordonnées initiales d'un élément matériel P du milieu ê\^, ;r,, y^, Zs les coordonnées de la position P, du même élément à l'instant t^ dans le milieu déformé S\.i. Les quantités 5;, , j/,, 5, sont des fonctions uniformes de x.,y, z. Pieprenons les formules
où u, V, W sont des fonctions uniformes en tous les points t, j', ;; de .il.
Soit P'(.r -f- dx^ y -+- dy. z -f- dz] un point du milieu iK infiniment voisin du point P(.r, y, sy; à ce point P' correspond, après la transformation, dans le milieu .'R.,, un point
V\{x^-r dxi,yi-^- dyi,zi- dzi)
CHAPITHE XXXIl. — DÉFORMATION I) ' L N MILIEU CONTIM. a3j
infiniment voisin du point P, ( .r^ , y,, z, ). Comme a", , j'i, ^, sont des fonctions de x, y, z définies par les formules (i). on a
dx, = clx -\ dy H , dz ,
I f)x (Jj- -^ dz '
(,o) Idy.^.'-^ldx-'^dy^'-^dz,
' "^ ôx ôy dz
dz, — -^ dx -■ dy -. — ^ dz ,
^ Ox dy -^ dz
ou encore, d";iprès les formules (g),
dxi -= I + -— dx -!- • — dy -h ^ dz.
\ dx J Oy -^ dz
■ j f^V , ,' dv \ , dv ,
f lo ) ' dvi — — dx -^ { i -^ —- )dy -^ — dz.
' . " ' Qx . t)j J '->^
, c^w , ^"W , /' à-vr \ ,
dz, = dx -H — ^— dy -^ { i -" — r— dz.
dx dy -^ \ dz j
D'après cela, en désignant par cls la distance infiniment petite PP' et par ds^ la distance P, P', des points correspondants après la transformation, on a
ds"- = dx'>- -- dy^ -^ dz^ ds] = dx] — dy\ — dz].
Dans cette dernière expression remplaçons dxi, dyt., dzf par leurs valeurs (lo) ou (lo'), nous aurons pour ds^^ une forme quadratique en dx., dy, dz que nous écrirons, pour nous conformer aux notations habituelles, de la façon suivante
(fi) d'où
dsf = ( i -h izi) dx^ -f- ( I -1- '2 £2 ) (^y'^ -f- ( I -T- 2 £3 ) (^« - -H 2 Y, dy dz -t- >-Y2 dz dy — ■> 73 dx dy.
ds\ — ds^- — 2 î] dx' — 2 Î2 dy^ -1- 2 £3 dz-
-f- 2Yi dy dz -- 2Y2 dz dx — 2Y3 dx dy.
Les coefficients e, et y/ s'expriment immédiatement soit à l'aide des dérivées partielles de .r,,^i, Zi soit à l'aide des dérivées partielles de u, V, w suivant qu'on se sert des expressions (10) ou (10'). Ainsi en prenant les expressions (10) on aurait
i\\dxj ' ^ dx) ' \dx J '
âv du du dv dv d-w à-w
Oz Oy Oz Oy Oz ' dy dz
•i36 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
Nous écrirons les expressions de ces coefficients en fonction de U. V, W
£2 et £3 se déduisant des,, Y2 et ys de y, par permutation circulaire des lettres x, y, z- et u, v, w.
Ces six coefficients sont des fonctions de ^, y, z qui caractérisent la déformation considérée. Cela résulte des deux théorèmes suivants :
Premier théorème. — Si les six Jonctions ^^^ So, £3, yi, ya? Y:i
sont identiquement nulles, la déformation est nulle et l'on
peut amener le milieu de l'état ô\ à l'état cflj par un déplace-
' ment d'ensemble. Réciproquement, si la déformation est nulle,
les six fondions sont nulles.
En effet, si les fonctions sont nulles, on a, d'après l'identité (12),
dsi^= ds\
la distance de deux points infiniment voisins quelconques P, V du milieu primitif est égale à la distance des deux points correspondants P), P', du milieu transformé. A une ligne quelconque ALB joignant deux points A et B du milieu primitif correspond une ligne A,L,B, de même /o/zo"Me«/' joignant les deux points correspondants A, et B, du milieu transformé : cela résulte évidemment de ce que les éléments de longueur correspondants des deux lignes L et L, sont égaux. A la ligne la plus courte joignant les points A et B correspond donc, dans le milieu transformé, la ligne la plus courte joignant A, et B, ; en d'autres termes, le segment de droite AB se transforme en un segment de droite égal A,Bi. Un triangle ABC du milieu primitif se transforme donc en un triangle égal A,B,C( du milieu transformé.
Soient alors P un j)oint quelconque du milieu primitif, P, le point correspondant du milieu transformé, en joignant par des droites
