CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION d'uN MILIEU CONTINU

une dilatation linéaire suivant cette direction, et à chaque système de deux directions une dilatation angulaire de leur angle.

Propriétés géométriques. — On conclut de cette définition les propriétés suivantes qui caractérisent géométriquement une déformation homogène :

1° A deux segments de droites parallèles entre eux du premier milieu correspondent deux segments de droites parallèles entre eux du second milieu, et le rapport des deux segments est le même avant et après la déformation.

En effet, d'après ce qui précède, si l'on considère dans le premier milieu des éléments linéaires égaux et parallèles entre eux, il leur correspond dans le second milieu des éléments linéaires égaux et parallèles entre eux. Soit alors AB un segment de droite du premier milieu ; divisons ce segment en éléments linéaires égaux entre eux et nécessairement parallèles. Il leur correspond des éléments linéaires égaux et parallèles entre eux portés bout à bout et formant, par suite, un nouveau segment de droite A,B,,

tel que le rapport des longueurs -r^ soit précisément le rapport

des éléments linéaires correspondants : le coefficient de dilatation de ce segment est donc identique à celui des éléments linéaires qui le composent.

A un second segment A'B' du milieu primitif parallèle à AB correspond, d'après le même raisonnement, un segment A', B', parallèle à A, B, ayant subi la même dilatation relative, et l'on a

a; B-, ^ A,TJ, AB' AB

1" A des plans du premier milieu parallèles entre eux répondent dans le second milieu des plans parallèles entre eux. Deux plans parallèles II et II' du premier milieu peuvent être regardés comme engendrés par des droites mobiles D et D' parallèles à une même direction s'appuyant respectivement sur deux directrices fixes A et A' parallèles à une autre direction. A ces droites mobiles correspondent dans le second milieu les droites mobiles D, et D', parallèles à une même direction s'appuyant respectivement sur deux directrices fixes A, et A', parallèles à une autre direction : ces droites D, et D', engendrent deux plans parallèles Wi et n, correspondant à II et II'.

Ces propriétés sont caractéristiques de la transformation liomo graphique conservant le plan de V infini.

675. Formules. — Prenons, comme dans le cas général, un système d'axes quelconque Oxyz auquel nous rapporterons le milieu primitif et le milieu transformé.

Les propriétés géométriques que nous venons d'indiquer montrent que 5^1 , y, , z^ doivent être des fonctions linéaires de x^y^z. En effet, en laissant^ et s constants et faisant varier seulement .2?, on fait décrire au point V[^x., y., z) une droite parallèle à 0,27; dans ces conditions, le point P, i^x^ , y, , 5, ), dont les coordonnées varient avec .r, doit décrire également une droite parallèle à une direction fixe ; donc les cosinus directeurs de la tangente au lieu du point P< sont des constantes indépendantes des valeurs attri-

, , , /-. • ■ 1 ^ àxx dvy dzi

buées a y et ^. Les cosinus sont proportionnels a — - ^ > -j-;

ijju (JjU iJJj

mais la quantité

j \0X J \ Ox 1

étant égale à i -f- 2e,, est actuellement constante, puisque £, est constant : en écrivant que les cosinus directeurs

I dx\ I èy^ I dzx

dxx i)y\ àz\ , . X !•

sont constants, on voit que -^^ -^^—^ —— sontconstants, c est-a-dire

' ^ fjx Ox ox

que X\, y^, z^ sont des fonctions linéaires de x. On verrait de même que Xf., y\i z, sont linéaires par rapport aux trois lettres x, y^ z, à la fois. C'est ce que nous voulions établir.

Les formules de transformation définissant une déformation homogène sont donc de la forme :

l Xi—aio^~(i — aii)^-^ «12 y -^ «i3-s>

(23) lyi=Cl20-r- «21 ^ -^ (l -^ «22)^ -^ «Î3-5,

( Z, = «30— «31 ^— «32 JK — (l-i- «33)*)

les coefficients a/y étant des constantes quelconques, assujetties à la condition que les relations faS) donnent, inversement, pour