CHAPITRE XXXIl. - DÉFORMATION d'cN MILIEU CONTINU
chaque système de valeurs de^,, j',, :;,, un seul système de valeurs pour x^y, z. Cela revient à dire que le déterminant D, qui a été défini précédemment (7) et qui est ici
I ^ On «21 «31
est différent de zéro. D'après sa signification physique, ce déterminant doit, en outre, être positif.
Les six coefficients caractéristiques de cette déformation ont les valeurs constantes
Yl = «32
(«il -+- «Il — «11"»
676. Simpliûcation des formules à l'aide d'une translation. — On peut toujours rendre les trois coefficients «,o, a^o» <^3o nuls sans modifier la déformation : on en voit a priori la raison dans ce fait que ces coefficients ne figurent pas dans les e, et les y/. On le voit directement de la façon suivante : Soit O' le point du système primitif S\. auquel correspond l'origine O dans la transformation. Les coordonnées a, ^3, y de ce point doivent annuler les seconds membres des formules (aS )
(I — «11 ;a -^ «12 P — «isY = o.
z égaux à a, p, y, on doit trouver j:,, ^,, ^,
puisque, pour x^ y^ nuls.
Supposons alors qu'on imprime au système Si une translation d'ensemble qui amène O' en O. Celte translation amènera les points P en des points P' dont les coordonnées x' , y' , z' sont liées aux coordonnées x, y, z de P par les formules
Les formules (28 ) deviennent alors, d'après les relations (25),
Xx = (i -s^aii)x'-^ «127'-- «13-', yx= «21 x' -^ ,
Si — «31 x' -^ ....
c'est-à-dire qu'elles conservent la même forme, avec cette seule différence que les termes constants ont disparu.
D'après cela nous considérerons, dans tout ce qui suit, les coefficients rt,o, «20, Oso comme rendus nuls par une translation préliminaire et nous étudierons la déformation définie par les formules
< Xi^- (i — aij)x-- ai, y— a^^z, ('26) ', ri= «21 se — (\-r-aii)y^ «23-,
[ Zi= «31 X-r- rtj, y — (i — «3.-!,)-,
qui donnent pour le segment PP, les projections (27)
u = aiix -
V — a=nx -
- «22JK -
Dans ces formules, l'origine est caractérisée par ce fait qu'elle se correspond à elle-même dans la déformation, puisque les valeurs X =j)- r^ :; =: o donnent Xi = J^ = ^, 3= o.
Nous avons vu que, dans une déformation quelconque, il existe, en chaque point P du milieu primitif, trois éléments linéaires rectangulaires qui se transforment en trois éléments rectangulaires. Actuellement Torientation de ces éléments est indépendante du choix du point P; déplus, comme une droite devient une droite, on peut dire qu'il existe trois directions de droites rectangulaires qui se transforment en trois directions rectangulaires. Ces directions sont les axes de l'ellipsoïde des dilatations (17) dans l'équation duquel les coefficients ont les valeurs constantes (24)-
On peut ici retrouver ce résultat par une voie plus élémentaire en remarquant que, d'après les formules (26 , une sphère
du second milieu correspond à un ellipsoïde
\(\ 4- ail )ar — rtjojK -1- «132]- + ...-:-... = î^^
du premier. A trois diamètres conjugués de cet ellipsoïde correspondent trois diamètres rectangulaires de la sphère : par suite, les trois axes de cet ellipsoïde OXYZ forment un système d'axes rectangulaires qui se transforment en trois axes rectangulaires OX,Y,Z,.
