LX
ITLIE
qu'on peut écrire
àF
dx'
dF
^ dz
en posant
F = - ( Aii:r'2— Aîa/'-H- ^%%z'- \.
Elle est suffisante : en effet, supposons que dans les formules générales (27) définissant u, V, W pour une déformation homogène quelconque, par rapport à des axes Ç)xyz^ u, v, W soient les dérivées partielles d'une même fonction F de x^y^z : ou, c
qui revient au même, supposons que 1 on ait •—- = — > • •• , c eslà-dire
La fonction F est alors
( 3o) F = - ( aii^^-r- «22^^"-^ «33--— 2«23j'- — >. «si-^;-^ -^ ia\=ixy )^
et l'on a
dF
dF
dF
Ox
dz
Les surfaces du second degré ayant pour équation
(32) F(x, jK, ■= I ~ const.
jouent à l'égard du vecteur u, V, W le rôle de surfaces de niveau. Ces surfaces ont même centre O et mêmes directions d'axes principaux OXYZ. Faisons tourner les axes de façon à prendre comme nouveaux axes OXYZ et appelons x' ^y\ z' les nouvelles coordonnées d'un point P et u', v', w' les nouvelles projections du vecteur PP, ; la fonction F prendra la forme réduite
et l'on aura
= Aii^'.
, àF
, OF Oz
La déformaiion est donc pu/e. On voit qu'elle a pour axes les axes des quadriques (32) et pour coefficients de dilatation princijjaux les doubles des coefficients des carrés des variables dans l'équation de ces quadriques rapportées à leurs axes.
Nous avons vu précédemment ( n° 670) comment on peut, connaissant les coefficients £/ et v/, déterminer les directions principales et les coefficients de dilatation principaux en un point P du milieu primitif. On pourrait appliquer, en particulier, cette méihode au cas actuel.
Quand on suppose connus les coefficients «h? • • -, cf^2■| •• • d'une déformation pure (ai/f= «^/) on voit, d'après ce qui précède, (|ue le problème de trouver les axes principaux, d'une déformation pure et les coefficients de dilatation principaux peut être ramené au problème classique : rapporter la surface du second ordre (32) à ses axes de symétrie. On sait que ce problème exige la résolution de l'équation du troisième degré en S
(au — S ) ( ^^22 — S ) I ^33 — s j — ( «H — s ; a| .,
— 1 •'/22— S)aj3 — ( «33— s lalj — •2a32«I3f<2I — o,
qui a toujours ses racines réelles et égales précisément aux coefficients A,|, Aoo, A.33 de la forme réduite, c'est-à-dire aux coefficients de dilatation principaux.
On peut remarquer que, pour une déformation pure rapportée à ses axes principaux ( formules 28 1. les valeurs des six coefficienls c/ et y,- sont
An-
Yi =-
Ta^
L'équation de l'ellipsoïde des dilatations (17) rapporté à ces mêmes axes est donc
< I -^ Aii/-a7'2-i-([ -r- A22 )'-y'--^{\. -f- S.zz)-z"^— I,
ce qui est une vérification des formules générales du n" 668, car actuellement les coefficients de dilatation des éléments parallèles aux axes de coordonnées étant Ah,Ao2,A33, on doit avoir,
