CHAPITRE XXXII

|)ar exemple,

DKFORMATIOX D ' U N MILIEU CONTINU. 255

679. Théorème. — Toute déjormation homogène peut être obtenue par une translation et une rotation suivies d'une déformation pu le. — En efTet, soient OXYZ les axes principaux de l'ellipsoïde des dilatations en un point quelconque O, déter-

miné dans le premier milieu éR. : on sait que la déformation fait correspondre à ces trois droites rectangulaires trois autres droites rectangulaires 0| X( Yj Z, .

Considérons le système primitif non déformé i}\ comme un solide invariablement lié au trièdre OXYZ et transportons ce solide en àl' de façon à faire coïncider le trièdre OXYZ avec le Irièdre 0)X,Y,Z), chaque axe se plaçant sur son correspondant, (le déplacement peut-être réalisé par une translation amenant O en O, suivie d'une rotation autour d'un axe issu de 0| amenant les deux trièdres en coïncidence.

Une fois ce déplacement effectué, pour passer du milieu continu 3i' au milieu continu final <!Fl,, il faut lui faire subir une déformation pure d'axes 0| X, Y, Z, . En effet, soient P un point quelconque du milieu àl, P( sa position finale dans le milieu ^il,. Après le déplacement d'ensemble du milieu SI en sV , obtenu par la superposition de OXYZ à 0,X, Y,Z,, le point P occupe une position P' dans le milieu A'.

Il faut montrer que la transformation du milieu si.' dans le milieu final Jl, , transformation qui fait correspondre à chaque point P' le point P,, est une déformation pure d'axes 0,X,Y,Z,. (^r cette dernière transformation est. évidemment une transformalion homogène dans laquelle les axes O, X, , O, Y, , O, Z, se cor-

respondent à eux-mêmes, car P' étant sur 0)X(, P est sur OX el, par suite, P( sur 0)X). C'est donc une déformation pure d'axes OiX, Y( Zi .

Cette réduction d'une déformation homogène aune translation, suivie d'une rotation, suivie d'une déformation pure est possible d'une infinité de manières, car le choix du point O est arbitraire: mais la translation seule change avec le choix du point O ; la rotation et la délorniation pure sont inaltérées; ce dernier fait résulte de ce que, quel que soit le choix du point O, les trois droites OXYZ sont parallèles à des directions fixes et que leurs transformées 0)X,Y,Z, sont également parallèles à trois autres directions fixes.

Nous avons (n° 667) considéré comme identiques deux déformations qui peuvent se ramener l'une à l'autre par un déplacement d'ensemble. On peut donc résumer le théorème que nous venons (le démontrer en disant que toute déformation homogène est Identique à une déformation pui^e .

'Remarque I. — 11 est évident que, pour amener les axes OXYZ en coïncidence avec O, X, Y, Z,, on pourrait faire d'abord la rotation des axes OXYZ de façon à les rendre parallèles aux axes 0)X,Y, Z,, /?m/5 la translation OO,. On peut donc, dans le théorème qui lait l'objet de ce numéro, faire d'abord la rotation, puis la translation et enfin la déformation pure.

Remarque II. — Dans le cas particulier où la déformation homogène donnée serait /?«^re,

les axes OjX,YiZ( seraient parallèles aux axes OXYZ et, pour superposer ces deux svstèmes d'axes, il suffirait d'une translation. La rotation serait alors nulle.

III. - RETOUR A UNE DEFORMATION QUELCONQUE, DÉFORMATION HOMOGÈNE TANGENTE EN UN POINT.

680. Déformation quelconque : déformation homogène tangente en un point. — ■ Si nous revenons au cas général d'une déformation quelconque, cette déformation est caractérisée par les six fonc-