IV. — DEFORMATION INFINIMENT PETITE

683. Définition. — Imaginons un milieu continu qui se déplace et se déforme d'une manière continue de telle façon que le déplacement PP| de chacun de ses points P soit assez ])etit pour que, dans les mesures, on puisse négliger les carrés et les produits de ces déplacements. La déformation est alors appelée infiniment petite. Les projections u, V, w du déplacement PP, sont alors des quantités que nous traiterons, ainsi que leurs dérivées partielles par rapport à x, y, ^, comme des infiniment petits du premier ordre dont nous négligerons les carrés et les produits. De là résultent dans les formules et les théorèmes généraux des simplifications que nous allons indiquer.

Exemples de déformation infiniment petite. — i" Dans les vilirations d'un corps élastique rendant un son, les déplacements des points matériels à partir de leurs positions initiales restent ordinairement, pendant toute la durée du mouvement, assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leurs produits.

a" Dans le mouvement continu d'un fluide liquide ou gazeux, pour passer des positions des points du fluide à l'instant t aux positions des mêmes points à l'instant infiniment voisin t -\- dl , il faut faire subir au fluide une déformation inliniment petite. Un point qui, à l'instant f, est en P, est, à l'instant i -j- c//, dans une

26o ÉQUILIBRE ET MOUVEAIEXT DES MILIEUX CONTINUS.

position infiniment voisine P, et son déplacement PP, a poui"

projections

u dt, V dt, w dt,

«, p, w désignant les projections de la vitesse du point matériel en P. Pour appliquer la théorie générale à ce cas, il faudrait donc faire

u = « dt, M — V dl, w = «• dt.

(>84-. Expression des six fonctions caractéristiques. — En se reportant aux formules générales (i4) et négligeant les carrés des dérivées partielles de U, V, W par rapport à x^ y, ;, on a

. Dilatations linéaires en un point parallèles aux axes de coordonnées. — En chaque point V[x^y, c), ces dilatations ont pour expressions (page a4i)

d^fT

''=di'

-'- dz'

d-w ôv

<i\ji

•^'- Oy ' ..'

''-~ Oz

ùx

"' ' ~ 'ôi "

= /l -+- 2Ei — I, 02=v/n-2Î2 I) ^3=/

Mais actuellement Si, co, £3 sont infiniment petits : en développant par la formule du binôme, on a

(l-^2Si)^ =1+El- U\-....

et en négligeant les carrés, on trouve

Les coefficients î,, So, £.$ sont les coefficients des dilatations linéaires des éléments parallèles aux axes coordonnés.

Dilatations angulaires, en un point, des angles ayant leurs côtés parallèles aux axes coordonnés. Glissements. — INous avons vu, dans le cas général, que si l'on considère deux éléments linéaires ds et ds' issus de P parallèlement aux axes Ox et Ojk? les deux éléments déformés «r/^, et ds\ forment un angle a, défini par

Yl = \/l -r- 2 £2 /n- 2î3 COSai.