CHAPITRE XXXll. — DÉFORMATION d'lN MIMKU CONTINU

cernent infiniment petit P'P', subi par un point du système de coordonnées x' , y', z' . Soient U|, V|, "W| les projections de ce déplacement. On peut toujours imaginer que la rotation considérée ait lieu pendant un intervalle de temps dt : sa vitesse angulaire est alors égale à l'angle de rotation divisé par c// et les vitesses angulaires/?, q, r des rotations composantes sont

Les projections de la vitesse v du point I*' sont alors, d'après les formules élémentaires des rotations,

gz'—ry', rx' — pz', py'—qx';

et les projections du déplacement P'P', , égal à ç dt, sont les ex[)ressions précédentes multipliées par <:/^ : on a ainsi, d'après (38)

lll=p,z'— psy', V,= Pi^ —pi^-\ Wl=rr pty'—p,x'.

Cela posé, dans les formules (o-) qui déiinissent la déformation homogène d'une région infiniment petite (ni) entourant P, introduisons les notations

^* ~ ày "^ dz '

''- ~ 'ôz '^

' dy

^ - oz

dx '

elles prennent la forme

— p^x' — py Z —

-Piy' — Pi^r'^

Ces formules montrent que le déplacement infiniment petit P'P,, qui amène le point P' de l'entourage de P sur le point P, de l'entourage de Pj, est la somme géométrique ou résultante des trois déplacements suivants :

1" Le déplacement de projections u, V, w; ce déplacement est une translation égale à PP, ;

■1" Le déplacement de projections

Ui = piz' — Pif, Vi^Pi^' — piz', Wi ^/>,y'— yjo^c';

ce déplacement provient d'une rotation élémentaire de composantes /?,, P21 p-i autour des axes P^', Vy', Vz'; 3" Le déplacement de projections

U2=- '-lX'-^\-(3y^\-iiZ'.

qui dérive de la fonction

ce déplacement provient dune déformation pure dont les axes et les coefficients de dilatation principaux sont les axes de la quadrique F =:^ const. et les racines de l'équation en S correspondantes. Les axes de cette dernière quadrique F = const. coïncident avec ceux de l'ellipsoïde des dilatations au point P (n" 068)

-H -l'^iy' z' -^ •l-'^^z'x' -^ ■2'(:iX'y— I.

Ce fait est évident géométriquement : il résulte analjtiquement de ce que cette dernière équation peut s'écrire

Si donc on fait tourner les axes de coordonnées de façon à faire disparaître les termes rectangles dans F, on les fait aussi disparaître dans l'ellipsoïde des dilatations.

Nous avons ainsi mis en évidence les trois éléments de la déformation homogène d'une portion infiniment petite de matière entourant le point P : translation, rotation, déformation pure. Comme nous lavons dit, dans le cas général, cette rotation {pi^ P-ii P3) s'appelle rotation au point P, et cette déformation pure déformation pure au point P.

68G. Cas où les rotations sont toutes nulles. Déformation longitudinale. — Si les vecteurs PP, définissant la déformation dérivent d'une fonction de vecteurs, la rotation au point P est nulle et réciproquement. C'est là un théorème général vrai pour une déformation quelconque (n" 682). On le vérifie aisément sur les