CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION DUN MILIEU CONTINU

plan, mais y sont déplacés, parallèlenient à une direction D du plan P, de longueurs proportionnelles à la distance du plan Q au plan P.

Prenons le plan P pour plan des xy et la droite D pour axe des x. Dans les formules générales de la déformation homogène (n°675), on doit avoir ^, = 5;

ri= y:

où g est une constante qui mesure la grandeur du glissement simple. Les composantes de cette déformation sont

Formant l'équation en S correspondante, on voit que

8,S2-.-S2S3-+-S:,Si— 3(8,-i-S,-f-S3)-i-6 = o,

D'après les relations entre les coefficients et les racines d'une équation du troi- .■^ième degré, on a, en écrivant les équations précédentes, pour une déformation homogène rapportée à des axes quelconques, les deux conditions

4siS2£3+TiT2T3-ïiTf — ïjTI — s3T| = o,

Tf-1-T| + y|- 4(S2S3-H£3£,+ Si£,) ^ 2(e,-H£2-H£3),

qui expriment que la déformation est un glissement simple, et la formule

g = v/^CSi-hSj+ea), qui donne la grandeur du glissement {IbicL).

4. Courbes correspondantes dans le milieu primitif et le milieu déformé. — Soient dans un milieu non déformé des courbes en nombre doublement infini, ayant pour équations différentielles

, . dx dy dz

\,Y, Z étant des fonctions données de x,y, z. Par la déformation du milieu, telle qu'elle est définie au n° 662, ces courbes se transforment en courbes ayant pour équations différentielles

f/j7i rfy, dz^

Démontrer que l'on a

f ùx, dx, dx,

-^' - 'a ^ rfi7 ^

(3) . Y, = x(x^'+Y4^'+Z-^fi

\ dx dy dz

Z.^T.fx^-l-Y^ + Z^^ \ dx dy dz

\ étant un facteur de proportionnalité quelconque.

Réciproquement les conditions (3) sont suffisantes pour que les courbes (2) soient les transformées de (3). [ Voir Appell, Lignes gui se correspondent dans la déformation d'an milieu, extension des théorèmes sur les tourbillons {Journ. de Math, de .M. Jordan, fasc. Il; iSçig).]

5. Trouver dans la déformation d'un milieu les lignes dont la longueur n'est pas altérée par lu déformation ( Kœnigs).

G. Dans une transformation, ou dans une déformation finie quelconque, il y a en général trois éléments linéaires infiniment petits partant d'un point quelconque qui sont parallèles à leurs homologues.

7. Parmi les déformations, dépourvues de rotation, en existe-t-il pour lesquelles les faces du trièdre principal relatif à chaque point de l'espace s'ordonnent suivant les plans tangents à trois familles de surfaces, qui seront nécessairement deux à deux rectangulaires?

(Darboux, Proceedings of tlie London Matheniatical Society, vol. XXXII, n" 733.)