CHAPITRK XXX III. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

|jrise le long de la courbe, ou encore l'intégrale

/ \\ ds cos\V,f/5,

|)iise le long de la courbe. Dans le calcul de celle intégrale, t a une valeur constante, correspondant à l'instant considéré. Cette inléfirale est analogue à un travail : ce serait le travail d'une force fictive W de projections «, i^, w agissant sur un point ninlériel liclif qui suiviail la courbe d'une exliéuiilé A à l'autre B. Quand, à l'instant ^, il existe un potentiel -f des vitesses, cette intégrale est

ç;,j et 'j)j^ désignant les valeurs de cp aux deux points A et B. On |)eut répéter sur celte intégrale tout ce qu'on a dit du travail dans le cas où il existe une fonction des forces uniforme ou non.

Si les points A et B coïncident, l'intégrale donne la circulation le long de la courbe fermée C. Deux cas sont à distinguer : i ' si la fonction 'j, suivie par conlinuilé, n'a cpi'une valeur en chaque point du fluide, la circulation le long d'une courbe fermée quelconque est nulle, car A coïncidant avec B, on a cp^^ = cp,; ; i° si la fonction cp est à déterminations multiples, la valeur de la circulation le long d'une courbe fermée dépend de la position de la couibe : elle peut être nulle pour certaines courbes, différente de zéro pour d'autres.

Dans le premier cas le mouvement irrotalionnel est dit acyilique; dans le deuxième, il est cyclique.

711. Un liquide incompressible ne peut pas prendre un mouvement irrotationnel acyclique dans un vase fixe et complètement clos qu'il remplit entièrement. — En effet, si un pareil mouvement existait, le potentiel cp des vitesses devrait, à l'intérieur du vase S, vérifier l'étpiation de Laplace (équation de conlinuilé)

il devrait, en tous les points de la surface S du vase, vérifier la

igCi ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT UES MILIEUX CONTINUS.

condition

la dérivée niant prise suivant la normale à cette surface; cela résulle de ce que le flux à travers un élément quelconque de la surface du vase est évidemment nul. En outre zi serait uniforme.

Mais nous avons vu, dans le Cliajjitre XXIX, n" o94, que, si ces conditions sonl remplies, cp est constant danl tout l'intérieur de la surface S ; on a donc alors

f)0 fJz, f)'S>

M = — ^ = () , t) = — ^ = o , if = — ^ = O ,

dx ' ()y Oz '

et le liquide est immobile.

Dans les mêmes conditions, il peut exister un mouvement cjciique : par exemple, dans un tore de révolution autour de Os, un li(juide [)eut prendre un mouvement irrotationnel dans lequel

'^ r= arc tauf^ — • Dans ce mouvement, la circulation le lono d'une

courbe fermée entourant une fois O:; serait it..

III. — SUR LA. PROPAGATION DES ONDES; DISCONTINUITÉS DANS LE MOUVEMENT DES FLUIDES.

712. Indications bibliographiques. — Nous nous projiosons d'ex[)Oser, dans ce paragraphe, la théorie de la propagation des ondes à laquelle s'attache le nom de Hugoniol. Ce savant a, le premier, défini et étudié la propagation d'un mouvement dans un autre, et cela non seulement pour les mouvements infiniment petits, mais pour les mouvements d'ampliiude quelconque. Il a, le premier, iulrodiiit explicitement la notion de rompatibilllé de deux mouvements, et en a même donné une définition précise pour le cas du mouvement rectiligne. Dans le cas du mouvement à trois dimensions, au contraire, cette notion est beaucoup moins complètement dégagée; aussi l'auteur se place-t-il dès l'abord dans l'hjpothèse où il j a compatibilité, sans rechercher les conditions pour qu'il en ?>o\\z\ï\%\.(^ o\v Coniplea rendus, t. CI, i885; Journal de C École Polytechnique, Cahiers VII et VIII, 1887; et Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4' série,