CHAPITRE XXXIIl. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. îqS
qu'à cet instant
( 26 ) u dx -\- V dy -t- w dz,
soit une difFérentielle exacte dans la portion considérée du milieu, c'esl-à dire que la rotation moyenne ù de projections ^, -/], 'C, soit nulle à cet instant en tous les points de cette partie du milieu continu. Cela tient à ce que les conditions pour que lexpression(26) soit difFérentielle totale sont précisément
dw dv
ày Oz" '
Il existe des cas étendus, comme nous le verrons plus loin, où il y a, pour une portion déterminée du milieu, un potentiel des vitesses à chaque instant pendant toute la durée du mouvement. Dans ce cas, la rotation moyenne Q, de projections ç, r, , (^, est nulle, quel (jue soit t\ on dit que le mouvement de la |)<M'tioii considérée du milieu est irrotationnel {^) ou non tourbillonnaire. Les composantes m, P', w sont alors, à chaque instant f, les dérivées partielles par rapport h. x^ y., z d'une fonction 'f (.z", > , z-, t) qui contient en général le temps : quand le mouvement irrotationnel est permanent^ u, c, (v, étant indépendants du temps, pourront être considérés comme les dérivées partielles d'une fonction '^(x,y^ z)., également indépendante de t.
A chaque instant t, la vitesse W en un point P est normale à
la surface équipotentielle
o = const.
dirigée par rapport à cette surface du côté où cp croît et égale à -^ ' 1 la dérivée étant prise suivant la normale à la surface équipotentielle.
709. Flux à travers une surface dans le cas d'un potentiel de vitesses. — Quand les vitesses W dérivent d'un potentiel <p, la composante
(') Nous empruntons rette expression aux excellents Traités de Basset (Cambridge, 1888 et 1890).
de la vitesse d'un élément situé en P, suivant une droite PD de cosinus directeurs a, ^, y, est ég;ile à la dérivée de -^ prise suivant PD (Chap. IV). En parliciilier, si l'on prend un élément superficiel d's placé en P et la normale PN à cet élément dans un certain sens, la composante W/, de la vitesse suivant PN est la dé-
. , d-:i rivée -/- de o suivant cette normale, et le flux de matière à travers an '
cet élément pendant le temps dt est
p -r-d'sdl.
^ dn
Le flux c/M, à travers une surface S pendant le même temps,
dSl^dt f fp^d7.
dt
pAœ =
Équation de continuité. — Si w, r, w sont les dérivées partielles d'une fonction <p(;r, ),;,/) par rapporta x., y., s, l'équation de continuité (lo) s'écrit
ou, d'après la notation déjà emj)Io\ée dans la théorie de l'attraction,
Ac;
Si le milieu en mouvement est un liquide incompressible à température constante, 0 est constant et l'équation de continuité s'écrit
710. Flux et circulation le long d'une courbe donnée à l'instant t. — Etant tracée dans le milieu à Tinsiant l une courhe C d'extrémités A et B, on appelle flux le lonj^ de cette courbe l'inlégiale
( iidx -^ V dy -^ wdz)^
