CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS
D'une manière générale, les dérivées d'ordre n se dislribueronl en « H- I catégories analogues aux précédentes.
Cette surface S change de forme et de position avec le temps, non seulement dans l'espace absolu, mais aussi dans le fluide, de sorte que ce sont, à chaque inslant, de nouvelles particules Iluides qui se trouvent sur la surface de discontinuité S ; l'équation de celte surface est donc de la forme (S) V,{x,y,z,t) = o.
Soient a, b, c les coordonnées initiales des particules qui, à rinstant f, se trouvent sur la surface de discontinuité S ; ces particules forment, dans le milieu initial, une surface Sq dont l'équation
(So) Via.b, c,t) = o,
dépend aussi du temps, car ce sont à chaque instant de nouvelles
|)articules qui se trouvent sur S et, par suite, sur So-
Ces deux surfaces se correspondent point par pointa l'instant l ; en outre, So divise l'ensemble des particules dans leurs positions initiales en deux régions 1 et 2 qui correspondent point par point aux deux régions dans lesquelles S divise l'ensemble des particules dans leurs |)Ositions à l'instant t.
A l'instant initial, J-, y, z sont identiques à a, 6, c, les deux surfaces se confondeni, F, (:r, j, z-, t) devient identique à K(rt, b, c, t).
714. Vitesse de propagation de l'onde. — La surface de dislonlinuité S forme une onde qui se propage en chacun de ses points, à chaque instant, avec une certaine vitesse.
Prenons un point V{x,y^z)^ sur la surface S, à l'instant t
Fig. 327.
{fig. 327) ; menons, en ce point, la normale PN à S, et appelons P'(.r',y, z') le point où cette normale rencontre la position S' de
3oO ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES M 1 1. 1 K T \ CONTINUS.
la surface à l'instant infiniment voisin t -r- dt\ désignons par dn
le segment de normale PP' : la vitesse de propagation G de l'onde,
au point P, à l'instant t, est égale, en grandeur et direction, au
segment PP' divisé par dt
dn
W est aisé d'évaluer cette vitesse, connaissant l'équation de la surface S. En appelant a,, jB,, v, les cosinus directeurs de la normale en P à la surface
on a
I ^^F, o ' «^F, 1 cyFi
'"■'^JIJ^' ^'-X-d7' ''-A-'dJ
Les coordonnées du point P' sont alors
x' =^ X -^ "Xi dn^ y = y -^ ^i dn, z' ^= z -^'(i dn,
et, en écrivant que ce point est sur la surface de l'onde à l'instant
t-\-dt,
F, ( x' , y , z , t -\- dt) = o,
on a
Fi(.r -H ai dn, J'-h ^i dn, z -4- v, dn, t -\- dt) = o.
Développons par la formule de Tajlor, en remarquant que F,(a:, r, z^ t) est nul, et conservons, dans le développement, les seuls termes du premier ordre; nous aurons
—— sti dn H T— B, dn -+- -r— Vi dn -1 — dt = o ,
dx ay oz ' Ot
d'après les valeurs de a,, ^,, y, , k, on tire de là, pour la vitesse G, l'expression
On a ainsi la valeur de la vitesse : sa direction et son sens sont déterminés par la direction et le sens du segment PP'.
