CHAPITRE XXXnl. - «MNÉMAT.QVE DES MILIEUX CONTINUS. 3o

En parliculier, à l'iDSlant initial, œ, J, z deviennent «, b, c, F, devient F, et la vitesse de propagation est

(■?.) ^ ^ h dt'

en posant

y /àFy- , /àP\\

J '^\ôbj ' \àcl

715 Conditions de compatibilité. - L'existence même, a un instant ^ d'une discontinuité affectant la forme d'une surface, entraîne certaines relations qu'on peut appeler, avec M. Hadamard, condàions identiques; le fait que cette discont.nuite persiste, quand t varie, sous la Jorrne d^ une surface unique, entraîne d'autres conditions qui sont les conditions cinématiques de compatibilité. Nous allons établir ces conditions pour les discontinuités du premier et du deuxième ordre.

Nous aurons à nous appuyer sur la remarque suivante : Si une fonetion des coordonnées est définie d^un côté d une surface et sur la surface, on peut lui appliquer, sur la surface, les règles de dérivation des fonctions composées.

716. Discontinuité du premier ordre. - Soit S la surface de discontinuité à l'instant t : les particules qui sont sur cette surface se trouvaient, à l'instant initial, sur la surface correspondante

(So) F(«,^c, r)==o.

Parhypolhèse,a-,j-,~^sontdesfonctionscontinuesde« b, c,t,

• II dx dx dx dx ,.

mais les douze dérivées premières telles que ^' ^' ^' clt '"''''

sent des variations brusques quand le point «, b^c traverse la surface S„ de la région 1 à la région 2 ou, ce qui revient au même c,uand le point correspondant .x, y, z traverse S de la région 1 a

la région ^. i

Po'ur désigner ces variations brusques nous emploierons la no- .ation suivante. Si une fonction cp prend à l'instant t la va eur .p, en un point de la région 1 infiniment voisin de la surface de

. • , I 1 ,r, ',„ nnini de la réiiion 2 inlmiment discontinuité et la valeur Oo au point ae la le^iu

302 KQlILIBRt; ET MOUVEMENT DES M I 1. 1 K i; X CONTINUS.

voisin du premier, nous poserons

Si c2o et c5, sont continus et admettent des dérivées dans les milieux 1 et 2, o'j regardé comme fonction de a, ^, c sera continu sur la surface Sq et pourra être dilTérentié sur celle surface.

Remarquons, au sujet de ces ditFérenliations, que Ton b identiquement

en effet, le premier membre est égal à -^ — -f^ > et le deuxième a

la même signification.

Conditions identiques. — Par hypothèse, à l'instant /, l'abscisse X est une fonction de a, ^, c continue quand on traverse hi surface So : on a donc, le long de cette surface,

O.r ^ X-i Xi rr= O.

La différentielle totale de ox le long de la surface So, dans la

position qu'elle occupe à l'instant t, est donc nulle, et Ton a, en

dùx ^ ôx

remarquant que ^= o — <> • • •■,

' ' Oa ou

^ Ox ^ Ox ^ ûx

{ 4 ) 0 • — (la — o — p au H- 0 — de = o.

^^' da Ob Oc

pour tous les déplacements f/a, f/6, de effectués sur Sn, c'est-à-dire vérifiant la condition

oV , o¥ ,, OV ,

( 5 ) -T- da -. -r du -^ - de = <>.

^ ' da Oh i)c

J^es deux relations (4j et (5) devant cire vérifiées pour les mêmes valeurs de da, db^ de les coefficients de ces quantités, dans les deux équations, doivent être proportionnels.

Géométriquement, cela revient à dire cpielc vecteur ayant pour

projections o -— > o ~r, o -— est normal à la surface Sn. Appelons ' J Oa do Oc "ri

a, [i, Y les cosinus directeurs de celte normale; on aura, en