x Ob
h^\Ob )
^ d-x '' de'-
À 0¥ dl
ob Oc h- Ob de de Oa h'- Oc Oa da db k- da Ob
On trouve, pour la variation brusque des dérivées secondes àey et z par rapport à a, b, e, des expressions analogues dans lesquelles le facteur a serait remplacé par ij., puis par v,
'' Ik?- '^ 7ï:-\ôâ) ' * ' ' ' '^ Ob de ~ h- Ob de '
"^ dâ^ ^ /iF^\(Ja) ' '"' '' db de ~ 7Î^^ db 'de '
CIIAPITRK XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 3og
Dans ces relations Ii désigne la même quantité 1/(7") + • • •
que plus haut, de façon à mettre en évidence les cosinus directeurs de la normale à la surface de discontinuité.
On peut donc dire que les variations des dérivées secondes par rapport à «, 6, c sont définies par un certain vecteur de projections X, y., V.
„ . ..,,,.,, dx dv dz
Passons maintenant aux variations des dérivées de -7- j -7-5 -7-
dt dt dt
ou de ?/, V, w par rapport à a, 6, c. Comme par hypothèse om, ot', ow sont nuls le long de S, leurs difTérentielles totales le sont. On en conclut qu'en appelant 1,, [j.,, V) trois facteurs de proportionnalité, on a
/ ^ du
Xi dV h da
1 da
h da
f .s dw
\ da
h da
du
dF
'db ~
db
dv
IJ^i
dF
db ~
db
div
dF
'db ^
db
du
dF
de
Oc
dv
Ml
dF
de
de
dF
OC
de
Ces variations sont donc encore définies par un certain vecteur
Enfin, les trois dérivées secondes de x, j'^ z par rapport au
d^x d^Y d^z du dv dw , . -,
temps —, — } -TTi -7-7 ou — r j -r- 5 -T- subissent, quand on traverse ^ dt- dt- dt^ dt dt dt ' ^
la surface, des variations que nous appellerons Ao, [j-o, v^,
^ ' dV'- -' dt"^ ^ ■ df-
on peut écrire aussi
.^ du , ^ dv ^ dw
(9.0) '-dt=''^ 'di = ^'-- 'dï='''^
ces variations sont définies par le vecteur (Ao, [j.o, Vo) qui est la variation géométrique de l'accélération d'un côté à l'autre de S.
Conditions de compatibilité cinématique. — Faisons maintenant varier ^, et écrivons que la discontinuité subsiste sous forme de surface.
La quantité 0 — est une fonction de <7, Z>, c, t qui reste nulle
SlO EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
quand «, &, c, t varient de façon à vérifier l'équation
Faisons varier «, b^ c, t de da, db, de, dt, on aura donc
c'est-à-dire
^ à-x , ^ d^x „ ^ à^-x , ^ àa .
(21) 0 - — - da + 0 - — -, do -h 0 de + o -— «^ = o.
da- Oa ou da de da
sous la condition
, , c)F , dF „ dF , c)F ,
( 22 ) — da -h -rrr do -] — — ac -!- -- «^ = o.
^ ^ da db de dt
En écrivant cette relation (21) nous nous appuyons sur ce que
d / ^ dx\ ^ à' X
da \ da J da-
d / ^ dx\ ^ ^ / d '^^\ ■^ / à dx\ ^ du dt\ da) \dt da / \da dt ] ^ da
Les relations (21) et (22) devant avoir lieu pour les mêmes valeurs de dci-i db, de, dt, les coefficients de ces quantités dans les deux relations doivent être proportionnels
^ d'^x ^ du
da- da
Oa dt
Mais, d'après (18), les trois premiers rapports sont égaux à
ÔF
K dv 1, \ / \ ^ ^ ' "1 Oa /■■>. 1
— — et, cl après (iq), le dernier est —, — -p-- Vn a donc
h^ da ' i \ ■-' J^ Il ()\^
A2 da ^^' -"l"-- \'Vh ^-
dF
dt
X dF
On trouve de même
, ,., u. dF V dF
