CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX COXTINUS. 3l
subit une variation brusque qui, d'après (26), est donnée parla formule
p, /dLp\ I , /dD\
^'■^"^ '^ V àa / " D " y.àa J'
dans le deuxième membre de cette formule, nous faisons sortir le déterminant D du signe 0, car les dérivées premières de a^,y,z par rapport à «, b, c sont continues d'un côté à l'autre de la surface S. Calculons -— • Nous trouverons da
dD
da
d-x / dy da- \db
dz dz ày\ de db de J
/dz dx dx dz \ \ de da de da J
da db
f dx dy dy dx'^
da de ^
{da db da db)
où il y a neuf termes analogues à ceux qui sont écrits. Quand on
traverse la surface, les dérivées premières de x, y, z ne varient
pas; les seuls termes ^— , , \, > • • • subissent des variations que
' da- da db '
nous avons calculées plus haut (équations 18 et i8'j. On a donc
\d^)'^7r^[dâ/ \dbd^~dbdc)"'"' . l^àF dF /dzàx dx dzj * h^ da db \ de da de da J
V àF àF t dx dy dy dx\ ~^ T?''da 'de \dâ db ~ da db ) ^
En portant cette expression dans la relation (27) nous aurons la variation de la dérivée de ho par rapport à a. Mais on peut simplifier la formule en imaginant que l'instant actuel ait été pris pour instant initial. Alors x, i', z se réduisent identiquement à
7 I ^ > ■ r . ^. dx dv dz 1 . , , ,
a, o, c : les dérivées partielles — j ^^ -—deviennent effales a i et
' ' ^ da db de °
les autres dérivées du premier ordre deviennent nulles. Dans ces conditions, tous les termes non écrits dans (28) deviennent nuls et l'on trouve
dD
i dF /l dF h da \ h da
[J. dF
> dF
da
h db
Il de
3l4 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
Comme, d'autre part, D = i quand on est à Tinstant initial, la formule (2-) devient
^/dLp\ I d¥ /l ûF ^ jx rJF v (>F\ ^ ° -^ '' \ da J ~ h da \ h da ' h ob h Oc ) '
On trouvera, de même,
) '' \db ) ~^ hdb \h
dhf\ i ^ A db I II Oc \ h Oa II ob h Oc j
I dY f\ «^F ^ [JL ^ ^ V ^\
^ - ^ , ^ da II Ob h de )
^ °^ * 'dhp\ I ^F A r)F , [X ^ ^ V d¥\
Ces trois variations sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à la surface de discontinuité, le facteur de proportionnalité
/X aF ^ jx ^ 1 ^\ \h da ' h Ob h de /
représentant, au signe près, la projection du vecteur caractéristique (À, jj., v) sur la normale à la discontinuité. Les variations des dérivées de densité dépendent donc seulement de la composante normale* du vecteur 1, tx, v. Si la discontinuité était purement tangentielle , les trois variations (3o) et (3o') seraient nulles. Réciproquement si ces variations sont nulles, la discontinuité est tangentielle : c'est ce qui a lieu, en particulier, pour un liquide incompressible.
On a ainsi, j)our le second ordre, des résultats analogues à ceux du n" 717. Ces résultats s'étendent, avec les mêmes conclusions, comme l'a montré M. Hadamard, aux discontinuités d'ordre supérieur. ( ] oyez aux exercices. )
720. Variation de la rotation moléculaire instantanée dans une discontinuité du second ordre. — Soit comme plus haut tl la rotation instantanée eu un point : cette rotation est un vecteur ajant pour projections les quantités
j. I /()tv dv \ ^~ ~i\dy~d'z)' '"
qui dépendent de dérivées du second ordre des coordonnées. Voyons quel est le saut brusque que subit cette rotation quand on traverse la surface S. Pour simplifier, nous |)Ouvons toujours
